求下列极限: lim _(xarrow alpha )dfrac (sin x-sin alpha )(x-alpha );

考查要点：本题主要考查学生对三角函数极限的理解，特别是当变量趋向于无穷大时，振荡函数的极限是否存在。

解题核心思路：
当$x \rightarrow \infty$时，$\sin x$和$\sin \alpha x$均在$[-1,1]$之间无限振荡，因此它们的差$\sin x - \sin \alpha x$也会振荡。需要判断振荡部分是否能抵消，使得整体表达式趋于稳定。

破题关键点：

• 分情况讨论$\alpha$的值：
  • 若$\alpha = 1$，则$\sin x - \sin \alpha x = 0$，此时表达式简化为常数项$-1$，极限存在。
  • 若$\alpha \neq 1$，则$\sin x - \sin \alpha x$仍保持振荡特性，导致整体表达式无极限。

情况1：$\alpha = 1$

当$\alpha = 1$时，原式化简为：
$\sin x - \sin x - 1 = -1$
此时无论$x$如何变化，表达式恒等于$-1$，因此极限为：
$\lim_{x \rightarrow \infty} (-1) = -1$

情况2：$\alpha \neq 1$

当$\alpha \neq 1$时，利用三角恒等式$\sin A - \sin B = 2 \cos\left(\frac{A+B}{2}\right) \sin\left(\frac{A-B}{2}\right)$，可得：
$\sin x - \sin \alpha x = 2 \cos\left(\frac{(1+\alpha)x}{2}\right) \sin\left(\frac{(1-\alpha)x}{2}\right)$
此时原式变为：
$2 \cos\left(\frac{(1+\alpha)x}{2}\right) \sin\left(\frac{(1-\alpha)x}{2}\right) - \alpha$
由于$\cos$和$\sin$函数在$x \rightarrow \infty$时仍振荡于$[-1,1]$之间，因此振荡部分的绝对值不超过$2$，整体表达式在$[-2 - \alpha, 2 - \alpha]$之间无限振荡，极限不存在。