题目
3. 求极限 lim _(xarrow 0)dfrac (({e)^(x^2-1))}(xln (1-6x))=
题目解答
答案
解析
考查要点：本题主要考查等价无穷小替换的应用，以及在极限计算中对函数展开式的简化处理能力。
解题核心思路：
当$x \rightarrow 0$时，分子$e^{x^2} -1$和分母中的$\ln(1-6x)$均可通过等价无穷小替换简化。
- 分子替换：利用$e^t -1 \sim t$（当$t \rightarrow 0$），将$e^{x^2} -1$替换为$x^2$。
- 分母替换：利用$\ln(1+t) \sim t$（当$t \rightarrow 0$），将$\ln(1-6x)$替换为$-6x$。
替换后，极限表达式可直接化简为常数比值。
-
分子部分处理：
当$x \rightarrow 0$时，$x^2 \rightarrow 0$，根据等价无穷小替换公式：
$e^{x^2} -1 \sim x^2$
因此，分子可近似为$x^2$。 -
分母部分处理：
当$x \rightarrow 0$时，$-6x \rightarrow 0$，根据等价无穷小替换公式：
$\ln(1-6x) \sim -6x$
因此，分母可近似为：
$x \cdot (-6x) = -6x^2$ -
代入化简：
将分子和分母的近似表达式代入原式：
$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac{x^2}{-6x^2} = \dfrac{1}{-6} = -\dfrac{1}{6}$