单选题（共20题，40.0分） 8. (2.0分) 使用换元法计算不定积分int x/sqrt(1-x^2)dx时，最合适的代换是（） A. u=1-x² B. u=sqrt(1-x^2) C. u=x D. u=x²

考查要点：本题主要考查换元法在不定积分中的应用，重点在于选择恰当的代换简化积分表达式。

解题核心思路：通过观察被积函数的结构，寻找与积分变量相关的复合函数，使得代换后积分简化为基本积分形式。关键点在于代换后的微分项能够完全匹配被积函数中的剩余部分。

破题关键：

1. 识别被积函数中的复合结构：分母为$\sqrt{1-x^2}$，分子为$x$，整体可视为与$1-x^2$相关的函数。
2. 选择代换对象：若设$u = \sqrt{1-x^2}$，则其微分$du$中自然包含$x/\sqrt{1-x^2} \, dx$，与被积函数完全匹配，从而直接简化积分。

选项分析

选项B：$u = \sqrt{1-x^2}$

1. 计算微分：
   $du = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{1-x^2} \right) dx = \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}} dx$
   即：
   $\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx = -du$

2. 代换积分：
   原积分变为：
   $\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx = \int -du = -u + C = -\sqrt{1-x^2} + C$

其他选项对比：

• 选项A（$u=1-x^2$）：需额外处理分母中的$\sqrt{u}$，步骤稍多。
• 选项C/D：无法有效简化积分表达式。