(11) lim _(xarrow 0)dfrac (3sin x+{x)^2cos dfrac (1)(x)}((1+cos x)ln (1+x))= __

考查要点：本题主要考查极限的计算，涉及等价无穷小替换、分式拆分以及有界函数与无穷小量乘积的性质。

解题核心思路：

1. 分子拆分：将分子拆分为$3\sin x$和$x^2 \cos \frac{1}{x}$两部分，分别分析其极限。
2. 分母简化：利用$\sin x \sim x$和$\ln(1+x) \sim x$的等价无穷小替换，简化分母表达式。
3. 高阶无穷小忽略：判断$x^2 \cos \frac{1}{x}$为比$x$更高阶的无穷小，可忽略其对极限的影响。

破题关键点：

• 识别$x^2 \cos \frac{1}{x}$的极限为0，因为$x^2$趋近于0且$\cos \frac{1}{x}$有界。
• 等价无穷小替换简化分母中的$\ln(1+x)$和分子中的$\sin x$。

步骤1：拆分分子与分母
原式可拆分为：
$\lim_{x \to 0} \frac{3\sin x}{(1+\cos x)\ln(1+x)} + \lim_{x \to 0} \frac{x^2 \cos \frac{1}{x}}{(1+\cos x)\ln(1+x)}.$

步骤2：计算第一部分的极限

• 分子：$\sin x \sim x$，故$3\sin x \sim 3x$。
• 分母：
  • $1+\cos x \sim 2$（当$x \to 0$时，$\cos x \approx 1$）。
  • $\ln(1+x) \sim x$。
    因此，分母$\sim 2x$。
• 整体：$\frac{3x}{2x} = \frac{3}{2}$。

步骤3：计算第二部分的极限

• 分子：$x^2 \cos \frac{1}{x}$的绝对值不超过$x^2$，当$x \to 0$时，$x^2 \to 0$。
• 分母：$\sim 2x$。
• 整体：$\frac{x^2}{2x} \cos \frac{1}{x} = \frac{x}{2} \cos \frac{1}{x}$，因$\frac{x}{2} \to 0$且$\cos \frac{1}{x}$有界，故极限为0。

步骤4：合并结果
两部分相加得：$\frac{3}{2} + 0 = \frac{3}{2}$。