题目
(11) lim _(xarrow 0)dfrac (3sin x+{x)^2cos dfrac (1)(x)}((1+cos x)ln (1+x))= __
题目解答
答案
解析
步骤 1：分析极限表达式
观察给定的极限表达式 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {3\sin x+{x}^{2}\cos \dfrac {1}{x}}{(1+\cos x)\ln (1+x)}$，注意到分子和分母在 $x\rightarrow 0$ 时都趋于0，因此可以考虑使用洛必达法则或泰勒展开来求解。
步骤 2：使用泰勒展开
- 分子部分：$3\sin x$ 可以用泰勒展开为 $3x + o(x)$，而 $x^2\cos \frac{1}{x}$ 在 $x\rightarrow 0$ 时趋于0，因为 $x^2$ 趋于0，$\cos \frac{1}{x}$ 有界。
- 分母部分：$(1+\cos x)$ 可以用泰勒展开为 $2 - \frac{x^2}{2} + o(x^2)$，$\ln(1+x)$ 可以用泰勒展开为 $x - \frac{x^2}{2} + o(x^2)$。
步骤 3：计算极限
将上述泰勒展开代入原极限表达式中，得到：
$$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {3x + o(x)}{(2 - \frac{x^2}{2} + o(x^2))(x - \frac{x^2}{2} + o(x^2))}$$
简化后得到：
$$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {3x}{2x} = \frac{3}{2}$$
观察给定的极限表达式 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {3\sin x+{x}^{2}\cos \dfrac {1}{x}}{(1+\cos x)\ln (1+x)}$，注意到分子和分母在 $x\rightarrow 0$ 时都趋于0，因此可以考虑使用洛必达法则或泰勒展开来求解。
步骤 2：使用泰勒展开
- 分子部分：$3\sin x$ 可以用泰勒展开为 $3x + o(x)$，而 $x^2\cos \frac{1}{x}$ 在 $x\rightarrow 0$ 时趋于0，因为 $x^2$ 趋于0，$\cos \frac{1}{x}$ 有界。
- 分母部分：$(1+\cos x)$ 可以用泰勒展开为 $2 - \frac{x^2}{2} + o(x^2)$，$\ln(1+x)$ 可以用泰勒展开为 $x - \frac{x^2}{2} + o(x^2)$。
步骤 3：计算极限
将上述泰勒展开代入原极限表达式中，得到：
$$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {3x + o(x)}{(2 - \frac{x^2}{2} + o(x^2))(x - \frac{x^2}{2} + o(x^2))}$$
简化后得到：
$$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {3x}{2x} = \frac{3}{2}$$