题目
1.利用高斯公式计算曲面积分:-|||-(3) iint (x)^3dydz+2x(z)^2dzdx+3(y)^2zdxdy 其中∑为抛物面 =4-(x)^2-(y)^2 被平面 z=0 所-|||-截下的部分的下侧;
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定积分区域
抛物面 $z=4-{x}^{2}-{y}^{2}$ 被平面 $z=0$ 所截下的部分是一个以原点为中心，半径为2的圆盘，其在 $z=0$ 平面上的投影为 $x^2+y^2\leq4$。由于积分区域是抛物面的下侧，因此积分区域为 $0\leq z\leq 4-x^2-y^2$。
步骤 2：应用高斯公式
高斯公式（散度定理）表明，对于一个闭合曲面S，其上的向量场F的通量等于该向量场在闭合曲面S所围成的体积V内的散度的积分。即
$$\iint_{S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iiint_{V} \nabla \cdot \mathbf{F} \, dV$$
其中，$\mathbf{F} = (x^3, 2xz^2, 3y^2z)$，$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial}{\partial x}(x^3) + \frac{\partial}{\partial y}(2xz^2) + \frac{\partial}{\partial z}(3y^2z) = 3x^2 + 3y^2$。
步骤 3：计算体积积分
根据高斯公式，原曲面积分可以转化为体积积分：
$$\iiint_{V} (3x^2 + 3y^2) \, dV$$
其中，$V$ 是由抛物面 $z=4-x^2-y^2$ 和平面 $z=0$ 围成的体积。为了方便计算，我们采用柱坐标系，其中 $x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$，$z=z$，$dV=r\,dr\,d\theta\,dz$。积分区域为 $0\leq r\leq 2$，$0\leq \theta\leq 2\pi$，$0\leq z\leq 4-r^2$。因此，体积积分为：
$$\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2} \int_{0}^{4-r^2} (3r^2) r\,dz\,dr\,d\theta = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2} 3r^3(4-r^2) \,dr\,d\theta$$
$$= \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2} (12r^3 - 3r^5) \,dr\,d\theta = \int_{0}^{2\pi} \left[3r^4 - \frac{3}{6}r^6\right]_{0}^{2} \,d\theta$$
$$= \int_{0}^{2\pi} \left(3\cdot2^4 - \frac{1}{2}\cdot2^6\right) \,d\theta = \int_{0}^{2\pi} (48 - 32) \,d\theta = 16\int_{0}^{2\pi} \,d\theta = 16\cdot2\pi = 32\pi$$
由于积分区域是抛物面的下侧，因此最终结果为 $-32\pi$。
抛物面 $z=4-{x}^{2}-{y}^{2}$ 被平面 $z=0$ 所截下的部分是一个以原点为中心，半径为2的圆盘，其在 $z=0$ 平面上的投影为 $x^2+y^2\leq4$。由于积分区域是抛物面的下侧，因此积分区域为 $0\leq z\leq 4-x^2-y^2$。
步骤 2：应用高斯公式
高斯公式（散度定理）表明，对于一个闭合曲面S，其上的向量场F的通量等于该向量场在闭合曲面S所围成的体积V内的散度的积分。即
$$\iint_{S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iiint_{V} \nabla \cdot \mathbf{F} \, dV$$
其中，$\mathbf{F} = (x^3, 2xz^2, 3y^2z)$，$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial}{\partial x}(x^3) + \frac{\partial}{\partial y}(2xz^2) + \frac{\partial}{\partial z}(3y^2z) = 3x^2 + 3y^2$。
步骤 3：计算体积积分
根据高斯公式，原曲面积分可以转化为体积积分：
$$\iiint_{V} (3x^2 + 3y^2) \, dV$$
其中，$V$ 是由抛物面 $z=4-x^2-y^2$ 和平面 $z=0$ 围成的体积。为了方便计算，我们采用柱坐标系，其中 $x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$，$z=z$，$dV=r\,dr\,d\theta\,dz$。积分区域为 $0\leq r\leq 2$，$0\leq \theta\leq 2\pi$，$0\leq z\leq 4-r^2$。因此，体积积分为：
$$\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2} \int_{0}^{4-r^2} (3r^2) r\,dz\,dr\,d\theta = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2} 3r^3(4-r^2) \,dr\,d\theta$$
$$= \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2} (12r^3 - 3r^5) \,dr\,d\theta = \int_{0}^{2\pi} \left[3r^4 - \frac{3}{6}r^6\right]_{0}^{2} \,d\theta$$
$$= \int_{0}^{2\pi} \left(3\cdot2^4 - \frac{1}{2}\cdot2^6\right) \,d\theta = \int_{0}^{2\pi} (48 - 32) \,d\theta = 16\int_{0}^{2\pi} \,d\theta = 16\cdot2\pi = 32\pi$$
由于积分区域是抛物面的下侧，因此最终结果为 $-32\pi$。