题目
设函数y=f(x)由方程e^2x+y-cos(xy)=e-1所确定，则曲线y=f(x)在点(0,1)处的法线方程为______．
设函数$$y=f(x)$$由方程$$e^{2x+y}-cos(xy)=e-1$$所确定，则曲线$$y=f(x)$$在点$$(0,1)$$处的法线方程为______．
题目解答
答案
$$x-2y+2=0$$
解析
步骤 1：求导
对给定的方程$$e^{2x+y}-cos(xy)=e-1$$两边同时对$$x$$求导，得到：
$$2e^{2x+y}+e^{2x+y}y'-sin(xy)(xy'+y)=0$$
步骤 2：代入点$$(0,1)$$
将点$$(0,1)$$代入上述导数方程，得到：
$$2e^{0+1}+e^{0+1}y'-sin(0)(0y'+1)=0$$
化简得到：
$$2e+ey'=0$$
解得$$y'=-2$$
步骤 3：求法线方程
已知点$$(0,1)$$和斜率$$y'=-2$$，法线斜率为$$\frac{1}{2}$$，所以法线方程为：
$$y-1=\frac{1}{2}(x-0)$$
化简得到：
$$x-2y+2=0$$
对给定的方程$$e^{2x+y}-cos(xy)=e-1$$两边同时对$$x$$求导，得到：
$$2e^{2x+y}+e^{2x+y}y'-sin(xy)(xy'+y)=0$$
步骤 2：代入点$$(0,1)$$
将点$$(0,1)$$代入上述导数方程，得到：
$$2e^{0+1}+e^{0+1}y'-sin(0)(0y'+1)=0$$
化简得到：
$$2e+ey'=0$$
解得$$y'=-2$$
步骤 3：求法线方程
已知点$$(0,1)$$和斜率$$y'=-2$$，法线斜率为$$\frac{1}{2}$$，所以法线方程为：
$$y-1=\frac{1}{2}(x-0)$$
化简得到：
$$x-2y+2=0$$