多元函数在一点处偏导数存在,则在该点处连续。A. 正确B. 错误

考查要点：本题主要考查多元函数偏导数存在与连续性之间的关系，明确两者之间的逻辑联系。

核心思路：在一元函数中，导数存在必然连续，但多元函数中偏导数存在并不能保证函数在该点连续。关键在于理解偏导数仅反映函数在坐标轴方向上的变化率，而连续性要求函数在所有方向的极限均等于函数值。因此，偏导数存在时，其他方向的极限可能不满足连续性的条件。

破题关键：通过构造反例说明偏导数存在但函数不连续的情况，从而否定原命题。

反例构造：
定义二元函数 $f(x,y)$ 如下：
$f(x,y) = \begin{cases}0, & \text{若 } x \neq y \text{ 或 } (x,y) = (0,0), \\1, & \text{若 } x = y \neq 0.\end{cases}$

验证偏导数存在：

1. 计算 $f_x(0,0)$：
   根据偏导数定义：
   $f_x(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h,0) - f(0,0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{0 - 0}{h} = 0.$

2. 计算 $f_y(0,0)$：
   同理：
   $f_y(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0,h) - f(0,0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{0 - 0}{h} = 0.$

验证不连续：
沿直线 $y = x$ 趋近于 $(0,0)$：
$\lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y) = \lim_{x \to 0} f(x,x) = \lim_{x \to 0} 1 = 1 \neq f(0,0) = 0.$
因此，$f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处不连续。

结论：存在偏导数存在但函数不连续的情况，原命题错误。