题目
设A,B,C表示三个事件证明下列等式(1)A,B,C(2)A,B,C(3)A,B,C
设
表示三个事件证明下列等式
(1)
(2)
(3)
题目解答
答案
(1)由于
而
又
，故
(2)由于
而，
，所以
(3)因为
表示事件“不多于一个发生”，而事件“不多于一个发生”等价于中至少有两个不发生，即
，故有
解析
步骤 1：证明 $(A\cup B)-B=A-B$
$(A\cup B)-B=(A\cup B)\overline {B}=A\overline {B}\cup B\overline {B}=A\overline {B}$
步骤 2：证明 $A-B=A-AB$
$A-AB=A\overline {AB}=A(\overline {A}\cup \overline {B})=A\overline {A}\cup \overline {A}\overline {B}=A\overline {B}$
步骤 3：证明 $A-B=A\overline {B}$
$A-B=A\overline {B}$
【答案】
$(A\cup B)-B=A-B=A-AB$
(2) 证明等式 $(A\cup B)-AB=(A-B)\cup (B-A)$。
【解析】
步骤 1：证明 $(A\cup B)-AB=(A\cup B)(AB)=(A\cup B)(A\cup B)$
$(A\cup B)-AB=(A\cup B)(AB)=(A\cup B)(A\cup B)$
步骤 2：证明 $(A\cup B)(A\cup B)=[ (A\cup B)\overline {A}] \cup [ (A\cup B)\overline {B}] =\overline {A}B\cup A\overline {B}$
$(A\cup B)(A\cup B)=[ (A\cup B)\overline {A}] \cup [ (A\cup B)\overline {B}] =\overline {A}B\cup A\overline {B}$
步骤 3：证明 $A-B=A\overline {B}$，$B-A=\overline {A}B$
$A-B=A\overline {B}$，$B-A=\overline {A}B$
【答案】
$(A\cup B)-AB=(A-B)\cup (B-A)$
(3) 证明等式 $\overline {AB\cup AC\cup BC}=\overline {A}\overline {B}\cup \overline {AC}\cup \overline {BC}$。
【解析】
步骤 1：证明 $AB\cup AC\cup BC$ 表示事件“A,B,C不多于一个发生”
$AB\cup AC\cup BC$ 表示事件“A,B,C不多于一个发生”
步骤 2：证明 事件“A,B,C不多于一个发生”等价于A,B,C中至少有两个不发生
事件“A,B,C不多于一个发生”等价于A,B,C中至少有两个不发生
步骤 3：证明 A,B,C中至少有两个不发生，即$\overline {A}\overline {B}\cup \overline {A}C\cup \overline {BC}$
A,B,C中至少有两个不发生，即$\overline {A}\overline {B}\cup \overline {A}C\cup \overline {BC}$
$(A\cup B)-B=(A\cup B)\overline {B}=A\overline {B}\cup B\overline {B}=A\overline {B}$
步骤 2：证明 $A-B=A-AB$
$A-AB=A\overline {AB}=A(\overline {A}\cup \overline {B})=A\overline {A}\cup \overline {A}\overline {B}=A\overline {B}$
步骤 3：证明 $A-B=A\overline {B}$
$A-B=A\overline {B}$
【答案】
$(A\cup B)-B=A-B=A-AB$
(2) 证明等式 $(A\cup B)-AB=(A-B)\cup (B-A)$。
【解析】
步骤 1：证明 $(A\cup B)-AB=(A\cup B)(AB)=(A\cup B)(A\cup B)$
$(A\cup B)-AB=(A\cup B)(AB)=(A\cup B)(A\cup B)$
步骤 2：证明 $(A\cup B)(A\cup B)=[ (A\cup B)\overline {A}] \cup [ (A\cup B)\overline {B}] =\overline {A}B\cup A\overline {B}$
$(A\cup B)(A\cup B)=[ (A\cup B)\overline {A}] \cup [ (A\cup B)\overline {B}] =\overline {A}B\cup A\overline {B}$
步骤 3：证明 $A-B=A\overline {B}$，$B-A=\overline {A}B$
$A-B=A\overline {B}$，$B-A=\overline {A}B$
【答案】
$(A\cup B)-AB=(A-B)\cup (B-A)$
(3) 证明等式 $\overline {AB\cup AC\cup BC}=\overline {A}\overline {B}\cup \overline {AC}\cup \overline {BC}$。
【解析】
步骤 1：证明 $AB\cup AC\cup BC$ 表示事件“A,B,C不多于一个发生”
$AB\cup AC\cup BC$ 表示事件“A,B,C不多于一个发生”
步骤 2：证明 事件“A,B,C不多于一个发生”等价于A,B,C中至少有两个不发生
事件“A,B,C不多于一个发生”等价于A,B,C中至少有两个不发生
步骤 3：证明 A,B,C中至少有两个不发生，即$\overline {A}\overline {B}\cup \overline {A}C\cup \overline {BC}$
A,B,C中至少有两个不发生，即$\overline {A}\overline {B}\cup \overline {A}C\cup \overline {BC}$