题目
指出下面微分方程的阶数,并回答方程是否线性的:(1)dfrac (dy)(dx)=4(x)^2-y;(2)dfrac (dy)(dx)=4(x)^2-y;?(3)dfrac (dy)(dx)=4(x)^2-y;(4)dfrac (dy)(dx)=4(x)^2-y;(5)dfrac (dy)(dx)=4(x)^2-y;(6)dfrac (dy)(dx)=4(x)^2-y.
指出下面微分方程的阶数,并回答方程是否线性的:
(1)
;
(2)
;
?
(3)
;
(4)
;
(5)
;
(6)
.
题目解答
答案
解 (1)一阶线性微分方程;
(2)二阶非线性微分方程;
(3)一阶非线性微分方程;
(4)二阶线性微分方程;
(5)一阶非线性微分方程;
(6)二阶非线性微分方程.
\
解析
步骤 1：确定微分方程的阶数
微分方程的阶数由方程中未知函数的最高阶导数决定。例如，如果方程中最高阶导数是二阶导数，则方程是二阶微分方程。
步骤 2：判断微分方程是否线性
微分方程是线性的，如果方程中未知函数及其导数的次数均为一次，并且未知函数及其导数的系数仅是自变量的函数或常数。
步骤 3：分析每个方程
(1) $\dfrac {dy}{dx}=4{x}^{2}-y$;
(2) $\dfrac {{d}^{2}y}{d{x}^{2}}-{(\dfrac {dy}{dx})}^{2}+12xy=0$;
(3) ${(\dfrac {dy}{dx})}^{2}+x\dfrac {dy}{dx}-3{y}^{2}=0$;
(4) $x\dfrac {{d}^{2}y}{d{x}^{2}}-5\dfrac {dy}{dx}+3xy=\sin x$;
(5) $\dfrac {dy}{dx}+\cos y+2x=0$;
(6) $\sin (\dfrac {{d}^{2}y}{d{x}^{2}})+ey=x$.
微分方程的阶数由方程中未知函数的最高阶导数决定。例如，如果方程中最高阶导数是二阶导数，则方程是二阶微分方程。
步骤 2：判断微分方程是否线性
微分方程是线性的，如果方程中未知函数及其导数的次数均为一次，并且未知函数及其导数的系数仅是自变量的函数或常数。
步骤 3：分析每个方程
(1) $\dfrac {dy}{dx}=4{x}^{2}-y$;
(2) $\dfrac {{d}^{2}y}{d{x}^{2}}-{(\dfrac {dy}{dx})}^{2}+12xy=0$;
(3) ${(\dfrac {dy}{dx})}^{2}+x\dfrac {dy}{dx}-3{y}^{2}=0$;
(4) $x\dfrac {{d}^{2}y}{d{x}^{2}}-5\dfrac {dy}{dx}+3xy=\sin x$;
(5) $\dfrac {dy}{dx}+\cos y+2x=0$;
(6) $\sin (\dfrac {{d}^{2}y}{d{x}^{2}})+ey=x$.