题目
对应于实矩阵的相异特征值的实特征向量必是正交的。A.正确B.错误
对应于实矩阵的相异特征值的实特征向量必是正交的。
A.正确
B.错误
题目解答
答案
解：题干中说对应于实矩阵的相异特征值的实特征向量必是正交的。
而根据定理：实对称矩阵的不同特征值的特征向量是正交的。
我们可进行证明：
设
是
的两个不同的特征值，
分别是其对应的特征向量
即有：
再两边取转置：
两边分别右乘
，则有：
再对
式两端取转置有：
再由
式得：
∵
∴
即正交得证。
综上所述，此题表述错误，应选
。
解析
步骤 1：理解题意
题目要求判断对应于实矩阵的相异特征值的实特征向量是否必是正交的。我们需要根据线性代数中的相关定理来判断这个命题的真假。
步骤 2：应用定理
根据线性代数中的定理，实对称矩阵的不同特征值的特征向量是正交的。但是，题目中提到的是实矩阵，而不是实对称矩阵。因此，我们需要进一步分析实矩阵的性质。
步骤 3：分析实矩阵的性质
实矩阵的特征向量是否正交取决于矩阵的性质。对于实对称矩阵，不同特征值的特征向量是正交的。但是，对于一般的实矩阵，不同特征值的特征向量不一定正交。因此，题目中的命题是错误的。
题目要求判断对应于实矩阵的相异特征值的实特征向量是否必是正交的。我们需要根据线性代数中的相关定理来判断这个命题的真假。
步骤 2：应用定理
根据线性代数中的定理，实对称矩阵的不同特征值的特征向量是正交的。但是，题目中提到的是实矩阵，而不是实对称矩阵。因此，我们需要进一步分析实矩阵的性质。
步骤 3：分析实矩阵的性质
实矩阵的特征向量是否正交取决于矩阵的性质。对于实对称矩阵，不同特征值的特征向量是正交的。但是，对于一般的实矩阵，不同特征值的特征向量不一定正交。因此，题目中的命题是错误的。