[单选题] 过点(1,0,0)与(0,1,0)且与曲面z=x2+y2相切的平面方程为().A. z=0与x+y-z=1B. z=0与2x+2y-z=2C. y=x与x+y-z=1D. y=x与2x+2y-z=2

步骤 1：确定平面方程的一般形式
平面方程的一般形式为 Ax + By + Cz = D。由于平面过点(1,0,0)和(0,1,0)，可以将这两个点代入平面方程，得到两个方程：
A(1) + B(0) + C(0) = D
A(0) + B(1) + C(0) = D
即 A = D 和 B = D。

步骤 2：确定平面与曲面相切的条件
平面与曲面相切意味着在切点处，平面的法向量与曲面的法向量相同。曲面z = x^2 + y^2的法向量为 (2x, 2y, -1)。设切点为 (x0, y0, z0)，则平面的法向量为 (A, B, C)。因此，有：
A = 2x0
B = 2y0
C = -1
由于 A = D 和 B = D，可以得到 D = 2x0 = 2y0。因此，平面方程可以写为 2x0x + 2y0y - z = 2x0^2 + 2y0^2。

步骤 3：确定切点
由于切点在曲面上，有 z0 = x0^2 + y0^2。将 z0 代入平面方程，得到：
2x0x + 2y0y - (x0^2 + y0^2) = 2x0^2 + 2y0^2
化简得到：
2x0x + 2y0y - 3(x0^2 + y0^2) = 0
由于平面过点(1,0,0)和(0,1,0)，可以将这两个点代入上式，得到：
2x0(1) + 2y0(0) - 3(x0^2 + y0^2) = 0
2x0(0) + 2y0(1) - 3(x0^2 + y0^2) = 0
即 2x0 - 3(x0^2 + y0^2) = 0 和 2y0 - 3(x0^2 + y0^2) = 0。解得 x0 = 0 或 y0 = 0。因此，切点为 (0,0,0) 或 (1,1,2)。

步骤 4：确定平面方程
当切点为 (0,0,0) 时，平面方程为 z = 0。当切点为 (1,1,2) 时，平面方程为 2x + 2y - z = 2。