1.14 证明下列命题1-|||-v(1)若方阵A可逆,则其逆矩阵唯一;-|||-(2)若方阵A可逆,B为同阶方阵,且 =0, 则 =0-|||-(3)若可逆方阵A是对称矩阵,则 -1 亦为对称矩阵;-|||-v (4)对于任意方阵A,证明AA^与与A`A均为对称矩阵-|||-v (5)如果A,B皆为对称矩阵,则AB也为对称矩阵的充要条件是 AB=BA-|||-(6)对于任意矩阵A,证明A`A与AA均为埃尔米特矩阵-|||-(7)A为反埃尔米特矩阵,证明iA及 -iA 均为埃尔米特矩阵.

步骤 1：证明逆矩阵唯一性
假设方阵A可逆，存在两个逆矩阵B和C，使得AB=BA=E和AC=CA=E。则有B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C，所以逆矩阵唯一。
步骤 2：证明若AB=0，则B=0
若方阵A可逆，存在逆矩阵A^{-1}，则有A^{-1}AB=A^{-1}0，即B=0。
步骤 3：证明若A是对称矩阵，则A^{-1}也是对称矩阵
若A是对称矩阵，即A=A^T，且A可逆，则有(A^{-1})^T=(A^T)^{-1}=A^{-1}，所以A^{-1}也是对称矩阵。
步骤 4：证明AA^T与A^T A均为对称矩阵
对于任意方阵A，有(AA^T)^T=(A^T)^T A^T=AA^T，所以AA^T是对称矩阵。同理，(A^T A)^T=A^T (A^T)^T=A^T A，所以A^T A也是对称矩阵。
步骤 5：证明AB为对称矩阵的充要条件是AB=BA
若A,B皆为对称矩阵，即A=A^T，B=B^T，且AB为对称矩阵，则有(AB)^T=B^T A^T=BA=AB，所以AB=BA。反之，若AB=BA，则(AB)^T=B^T A^T=BA=AB，所以AB为对称矩阵。
步骤 6：证明A'A与AA'均为埃尔米特矩阵
对于任意矩阵A，有(A'A)^H=(A^H)^H A^H=A'A，所以A'A是埃尔米特矩阵。同理，(AA')^H=(A')^H A^H=AA'，所以AA'也是埃尔米特矩阵。
步骤 7：证明iA及 -iA 均为埃尔米特矩阵
若A为反埃尔米特矩阵，即A^H=-A，则有(iA)^H=iA^H=i(-A)=-iA，所以iA是埃尔米特矩阵。同理，(-iA)^H=-iA^H=-i(-A)=iA，所以-iA也是埃尔米特矩阵。