题目
[题目]设A为n阶方阵,B1,B2,·B,A为A的n个列向-|||-量,若方程组 =0 只有零解,则向量组(β1,β2,-|||-βn)的秩为 __
题目解答
答案
解析
步骤 1：理解方程组 AX=0 只有零解的含义
方程组 AX=0 只有零解意味着矩阵A的零空间只包含零向量。根据线性代数理论，这等价于矩阵A的秩等于其阶数n，即R(A) = n。
步骤 2：理解向量组(β1,β2, $\cdots \cdots {B}_{n})$ 的秩
向量组(β1,β2, $\cdots \cdots {B}_{n})$ 的秩是指该向量组中线性无关的向量的最大个数。由于β1,β2, $\cdots \cdots {B}_{n}$ 是矩阵A的列向量，因此向量组(β1,β2, $\cdots \cdots {B}_{n})$ 的秩等于矩阵A的秩。
步骤 3：结合步骤1和步骤2得出结论
由于矩阵A的秩等于n，因此向量组(β1,β2, $\cdots \cdots {B}_{n})$ 的秩也等于n。
方程组 AX=0 只有零解意味着矩阵A的零空间只包含零向量。根据线性代数理论，这等价于矩阵A的秩等于其阶数n，即R(A) = n。
步骤 2：理解向量组(β1,β2, $\cdots \cdots {B}_{n})$ 的秩
向量组(β1,β2, $\cdots \cdots {B}_{n})$ 的秩是指该向量组中线性无关的向量的最大个数。由于β1,β2, $\cdots \cdots {B}_{n}$ 是矩阵A的列向量，因此向量组(β1,β2, $\cdots \cdots {B}_{n})$ 的秩等于矩阵A的秩。
步骤 3：结合步骤1和步骤2得出结论
由于矩阵A的秩等于n，因此向量组(β1,β2, $\cdots \cdots {B}_{n})$ 的秩也等于n。