14 lim _(xarrow 1)(dfrac (1)(1-x)-dfrac (3)(1-{x)^3}) 一

考查要点：本题主要考查极限的计算，涉及分式的通分、因式分解以及代数式的化简技巧。关键在于处理分母中的立方差形式，并通过约分简化表达式。

解题思路：

1. 通分：将两个分式合并为一个分式，找到共同分母。
2. 因式分解：利用立方差公式分解分母$1 - x^3$，并进一步化简分子。
3. 约分：通过约分消除公共因子，将表达式简化为可直接代入的形式。
4. 代入求值：在化简后的表达式中代入$x = 1$计算极限。

破题关键：正确应用立方差公式分解分母，并准确处理符号变化。

步骤1：通分合并分式

原式为：
$\lim _{x\rightarrow 1}\left(\dfrac {1}{1-x}-\dfrac {3}{1-{x}^{3}}\right)$

将分母$1 - x^3$分解为$(1 - x)(1 + x + x^2)$，并通分：
$\begin{aligned}\text{原式} &= \lim_{x \to 1} \left[ \dfrac{1}{1 - x} - \dfrac{3}{(1 - x)(1 + x + x^2)} \right] \\&= \lim_{x \to 1} \dfrac{(1 + x + x^2) - 3}{(1 - x)(1 + x + x^2)}.\end{aligned}$

步骤2：化简分子

分子部分展开并整理：
$1 + x + x^2 - 3 = x^2 + x - 2.$

步骤3：因式分解分子

将分子$x^2 + x - 2$分解为：
$x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2).$

步骤4：约分简化

分母为$(1 - x)(1 + x + x^2)$，注意到$1 - x = -(x - 1)$，约分后：
$\dfrac{(x - 1)(x + 2)}{(1 - x)(1 + x + x^2)} = -\dfrac{x + 2}{1 + x + x^2}.$

步骤5：代入求值

当$x \to 1$时，代入化简后的表达式：
$-\dfrac{1 + 2}{1 + 1 + 1} = -\dfrac{3}{3} = -1.$