15.若(1+i))^n=((1-i))^n,试求n的值.

考查要点：本题主要考查复数的幂运算性质，特别是涉及虚数单位$i$的周期性，以及复数相等的条件。

解题核心思路：

1. 复数相等的条件：两个复数相等当且仅当它们的模相等且辐角之差为$2\pi$的整数倍。
2. 代数变形：将等式两边转化为相同底数的形式，利用$i$的周期性（$i^4=1$）求解。
3. 极坐标法：通过模和辐角直接分析复数的幂运算。

破题关键点：

• 将$\frac{1+i}{1-i}$化简为$i$，从而将原方程转化为$i^n=1$，利用$i$的周期性直接求解。

步骤1：化简等式
将原方程两边同时除以$(1-i)^n$，得：
$\left( \frac{1+i}{1-i} \right)^n = 1.$

步骤2：计算分数$\frac{1+i}{1-i}$
分子分母同乘以$(1+i)$，得：
$\frac{1+i}{1-i} = \frac{(1+i)^2}{(1-i)(1+i)} = \frac{1+2i+i^2}{1-i^2} = \frac{2i}{2} = i.$

步骤3：代入化简后的结果
原方程变为：
$i^n = 1.$

步骤4：利用$i$的周期性
由于$i^4=1$，当且仅当$n$是4的倍数时，$i^n=1$。因此，$n=4k$（$k \in \mathbb{Z}$）。