题目
15.若(1+i))^n=((1-i))^n,试求n的值.
15.若
,试求n的值.
题目解答
答案
1.根据虚数公式：
,推出
,
;
2.根据指数的性质，当指数为偶数时，幂的结果就是正数。
对
只要
,等式就恒成立，
∴只要
是偶数，等式就恒成立。
∴答案为n=4k,
。
解析
步骤 1：计算${(1+i)}^{n}$和${(1-i)}^{n}$的表达式
根据虚数公式${i}^{2}=-1$，我们有：
${(1+i)}^{n}={(1+i)}^{2\cdot \dfrac {n}{2}}={(1+2i-1)}^{\dfrac {n}{2}}={(2i)}^{\dfrac {n}{2}}$
${(1-i)}^{n}={(1-i)}^{2\cdot \dfrac {n}{2}}={(1-2i-1)}^{\dfrac {n}{2}}={(-2i)}^{\dfrac {n}{2}}$
步骤 2：将${(2i)}^{\dfrac {n}{2}}$和${(-2i)}^{\dfrac {n}{2}}$进行比较
${(2i)}^{\dfrac {n}{2}}={(-2i)}^{\dfrac {n}{2}}={(-1)}^{\dfrac {n}{2}}\cdot {(2i)}^{\dfrac {n}{2}}$
步骤 3：确定${(-1)}^{\dfrac {n}{2}}$的值
要使${(2i)}^{\dfrac {n}{2}}={(-1)}^{\dfrac {n}{2}}\cdot {(2i)}^{\dfrac {n}{2}}$成立，${(-1)}^{\dfrac {n}{2}}$必须等于1，这意味着$\dfrac {n}{2}$必须是偶数。
根据虚数公式${i}^{2}=-1$，我们有：
${(1+i)}^{n}={(1+i)}^{2\cdot \dfrac {n}{2}}={(1+2i-1)}^{\dfrac {n}{2}}={(2i)}^{\dfrac {n}{2}}$
${(1-i)}^{n}={(1-i)}^{2\cdot \dfrac {n}{2}}={(1-2i-1)}^{\dfrac {n}{2}}={(-2i)}^{\dfrac {n}{2}}$
步骤 2：将${(2i)}^{\dfrac {n}{2}}$和${(-2i)}^{\dfrac {n}{2}}$进行比较
${(2i)}^{\dfrac {n}{2}}={(-2i)}^{\dfrac {n}{2}}={(-1)}^{\dfrac {n}{2}}\cdot {(2i)}^{\dfrac {n}{2}}$
步骤 3：确定${(-1)}^{\dfrac {n}{2}}$的值
要使${(2i)}^{\dfrac {n}{2}}={(-1)}^{\dfrac {n}{2}}\cdot {(2i)}^{\dfrac {n}{2}}$成立，${(-1)}^{\dfrac {n}{2}}$必须等于1，这意味着$\dfrac {n}{2}$必须是偶数。