题目
31、若 lim _(xarrow 0)((1-2x))^dfrac (1{x)}=(e)^k, 则 k= __
题目解答
答案
解析
步骤 1：将给定的极限表达式转换为标准形式
给定的极限表达式为 $\lim _{x\rightarrow 0}{(1-2x)}^{\dfrac {1}{x}}$。为了将其转换为标准形式，我们首先将其重写为 $\lim _{x\rightarrow 0}{[ 1+(-2x)] }^{\dfrac {1}{x}}$。这一步是通过将 $-2x$ 视为 $x$ 的系数来实现的。
步骤 2：应用指数函数的极限性质
我们知道，当 $x$ 趋向于 $0$ 时，$(1+x)^{\frac{1}{x}}$ 的极限等于 $e$。因此，我们可以将 $\lim _{x\rightarrow 0}{[ 1+(-2x)] }^{\dfrac {1}{x}}$ 转换为 $\lim _{x\rightarrow 0}{[ 1+(-2x)] }^{\dfrac {1}{x}}\cdot (-2x)\cdot \dfrac {1}{x}$。这一步是通过将 $-2x$ 乘以 $\frac{1}{x}$ 来实现的，这样可以将表达式转换为标准形式。
步骤 3：计算极限
根据指数函数的极限性质，$\lim _{x\rightarrow 0}{[ 1+(-2x)] }^{\dfrac {1}{x}}\cdot (-2x)\cdot \dfrac {1}{x}$ 等于 $e^{-2}$。因此，$\lim _{x\rightarrow 0}{(1-2x)}^{\dfrac {1}{x}}$ 等于 $e^{-2}$。这一步是通过将 $-2x$ 乘以 $\frac{1}{x}$ 来实现的，这样可以将表达式转换为标准形式。
给定的极限表达式为 $\lim _{x\rightarrow 0}{(1-2x)}^{\dfrac {1}{x}}$。为了将其转换为标准形式，我们首先将其重写为 $\lim _{x\rightarrow 0}{[ 1+(-2x)] }^{\dfrac {1}{x}}$。这一步是通过将 $-2x$ 视为 $x$ 的系数来实现的。
步骤 2：应用指数函数的极限性质
我们知道，当 $x$ 趋向于 $0$ 时，$(1+x)^{\frac{1}{x}}$ 的极限等于 $e$。因此，我们可以将 $\lim _{x\rightarrow 0}{[ 1+(-2x)] }^{\dfrac {1}{x}}$ 转换为 $\lim _{x\rightarrow 0}{[ 1+(-2x)] }^{\dfrac {1}{x}}\cdot (-2x)\cdot \dfrac {1}{x}$。这一步是通过将 $-2x$ 乘以 $\frac{1}{x}$ 来实现的，这样可以将表达式转换为标准形式。
步骤 3：计算极限
根据指数函数的极限性质，$\lim _{x\rightarrow 0}{[ 1+(-2x)] }^{\dfrac {1}{x}}\cdot (-2x)\cdot \dfrac {1}{x}$ 等于 $e^{-2}$。因此，$\lim _{x\rightarrow 0}{(1-2x)}^{\dfrac {1}{x}}$ 等于 $e^{-2}$。这一步是通过将 $-2x$ 乘以 $\frac{1}{x}$ 来实现的，这样可以将表达式转换为标准形式。