题目
7.设 +(z)^-1=2cos theta (zneq 0,theta 是Z的辐角),求证 ^n+(z)^-n=2cos ntheta .
题目解答
答案
解析
步骤 1：将给定的等式转换为复数形式
给定 $z+{z}^{-1}=2\cos \theta$，其中 $z\neq 0$，$\theta$ 是 $z$ 的辐角。首先，将 $z$ 表示为复数形式，即 $z=re^{i\theta}$，其中 $r$ 是 $z$ 的模，$\theta$ 是 $z$ 的辐角。由于 $z\neq 0$，$r$ 不为零。因此，$z^{-1}=\frac{1}{z}=\frac{1}{re^{i\theta}}=\frac{1}{r}e^{-i\theta}$。
步骤 2：将 $z$ 和 $z^{-1}$ 代入给定的等式
将 $z=re^{i\theta}$ 和 $z^{-1}=\frac{1}{r}e^{-i\theta}$ 代入 $z+{z}^{-1}=2\cos \theta$，得到 $re^{i\theta}+\frac{1}{r}e^{-i\theta}=2\cos \theta$。由于 $z$ 的模 $r$ 不为零，可以将等式两边同时乘以 $r$，得到 $r^2e^{i\theta}+e^{-i\theta}=2r\cos \theta$。由于 $z$ 的模 $r$ 为 1，即 $r=1$，因此 $e^{i\theta}+e^{-i\theta}=2\cos \theta$。
步骤 3：利用欧拉公式证明 ${z}^{n}+{z}^{-n}=2\cos n\theta$
根据欧拉公式，$e^{i\theta}=\cos \theta +i\sin \theta$，$e^{-i\theta}=\cos \theta -i\sin \theta$。因此，$e^{i\theta}+e^{-i\theta}=2\cos \theta$。将 $z=e^{i\theta}$ 代入 ${z}^{n}+{z}^{-n}$，得到 ${z}^{n}+{z}^{-n}=(e^{i\theta})^{n}+(e^{-i\theta})^{n}=e^{in\theta}+e^{-in\theta}=2\cos n\theta$。
给定 $z+{z}^{-1}=2\cos \theta$，其中 $z\neq 0$，$\theta$ 是 $z$ 的辐角。首先，将 $z$ 表示为复数形式，即 $z=re^{i\theta}$，其中 $r$ 是 $z$ 的模，$\theta$ 是 $z$ 的辐角。由于 $z\neq 0$，$r$ 不为零。因此，$z^{-1}=\frac{1}{z}=\frac{1}{re^{i\theta}}=\frac{1}{r}e^{-i\theta}$。
步骤 2：将 $z$ 和 $z^{-1}$ 代入给定的等式
将 $z=re^{i\theta}$ 和 $z^{-1}=\frac{1}{r}e^{-i\theta}$ 代入 $z+{z}^{-1}=2\cos \theta$，得到 $re^{i\theta}+\frac{1}{r}e^{-i\theta}=2\cos \theta$。由于 $z$ 的模 $r$ 不为零，可以将等式两边同时乘以 $r$，得到 $r^2e^{i\theta}+e^{-i\theta}=2r\cos \theta$。由于 $z$ 的模 $r$ 为 1，即 $r=1$，因此 $e^{i\theta}+e^{-i\theta}=2\cos \theta$。
步骤 3：利用欧拉公式证明 ${z}^{n}+{z}^{-n}=2\cos n\theta$
根据欧拉公式，$e^{i\theta}=\cos \theta +i\sin \theta$，$e^{-i\theta}=\cos \theta -i\sin \theta$。因此，$e^{i\theta}+e^{-i\theta}=2\cos \theta$。将 $z=e^{i\theta}$ 代入 ${z}^{n}+{z}^{-n}$，得到 ${z}^{n}+{z}^{-n}=(e^{i\theta})^{n}+(e^{-i\theta})^{n}=e^{in\theta}+e^{-in\theta}=2\cos n\theta$。