7.设 +(z)^-1=2cos theta (zneq 0,theta 是Z的辐角),求证 ^n+(z)^-n=2cos ntheta .

考查要点：本题主要考查复数的三角形式、欧拉公式的应用，以及利用数学归纳法或直接展开法证明复数幂的性质。

解题核心思路：

1. 将已知条件转化为二次方程，求出复数$z$的表达式；
2. 利用棣莫弗定理（De Moivre's theorem）展开$z^n$和$z^{-n}$，并验证其和为$2\cos n\theta$；
3. 分类讨论两种可能的根，证明结果一致。

破题关键点：

• 识别复数的三角形式：由$z + z^{-1} = 2\cos\theta$联想到$z = \cos\theta \pm i\sin\theta$；
• 正确应用幂运算规则：通过$(\cos\theta \pm i\sin\theta)^n = \cos n\theta \pm i\sin n\theta$简化计算。

步骤1：将已知条件转化为二次方程

由$z + z^{-1} = 2\cos\theta$，两边同乘$z$得：
$z^2 - 2\cos\theta \cdot z + 1 = 0$

步骤2：解二次方程求$z$

解方程$z^2 - 2\cos\theta \cdot z + 1 = 0$，判别式为：
$\Delta = (2\cos\theta)^2 - 4 = 4\cos^2\theta - 4 = -4\sin^2\theta$
因此，根为：
$z = \frac{2\cos\theta \pm \sqrt{-4\sin^2\theta}}{2} = \cos\theta \pm i\sin\theta$

步骤3：计算$z^n + z^{-n}$

情况1：当$z = \cos\theta + i\sin\theta$时，

• 根据棣莫弗定理：
  $z^n = (\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta$
• 倒数为$z^{-1} = \cos\theta - i\sin\theta$，故：
  $z^{-n} = (\cos\theta - i\sin\theta)^n = \cos n\theta - i\sin n\theta$
• 相加得：
  $z^n + z^{-n} = (\cos n\theta + i\sin n\theta) + (\cos n\theta - i\sin n\theta) = 2\cos n\theta$

情况2：当$z = \cos\theta - i\sin\theta$时，

• 同理可得：
  $z^n = \cos n\theta - i\sin n\theta, \quad z^{-n} = \cos n\theta + i\sin n\theta$
• 相加结果仍为$2\cos n\theta$。