f(x)= { ,xneq 0 1,x=0 .在x=0处，x=0为______间断点

考查要点：本题主要考查函数在某一点的间断点类型判断，涉及左右极限的计算及等价无穷小的替换。

解题核心思路：

1. 判断间断点类型的关键在于计算左右极限是否存在且是否相等，再结合函数值进行分析。
2. 等价无穷小替换是简化极限计算的重要工具，需注意替换的适用条件（如$x \to 0$时，$\sin x \sim x$）。
3. 绝对值符号的处理需分左右极限讨论，当$x \to 0^+$时$|x|=x$，当$x \to 0^-$时$|x|=-x$。

破题关键点：

• 正确计算左右极限，特别注意分母中绝对值符号的符号变化。
• 比较左右极限与函数值$f(0)=1$的关系，确定间断点类型。

步骤1：计算右极限$\lim _{x\rightarrow 0^+}f(x)$
当$x \to 0^+$时，$|x|=x$，因此：
$\lim _{x\rightarrow 0^+}f(x) = \lim _{x\rightarrow 0^+} \frac{\sin x}{x} = \lim _{x\rightarrow 0^+} \frac{x}{x} = 1$
（利用等价无穷小$\sin x \sim x$）

步骤2：计算左极限$\lim _{x\rightarrow 0^-}f(x)$
当$x \to 0^-$时，$|x|=-x$，因此：
$\lim _{x\rightarrow 0^-}f(x) = \lim _{x\rightarrow 0^-} \frac{\sin x}{-x} = \lim _{x\rightarrow 0^-} \frac{x}{-x} = -1$
（同理，$\sin x \sim x$，但$x$为负数）

步骤3：分析间断点类型

• 左右极限存在但不相等（右极限$1$，左极限$-1$）。
• 函数值$f(0)=1$等于右极限，但与左极限不等。
• 结论：$x=0$为跳跃（第一类）间断点。