求出下列各式之值:-|||-lim _(xarrow +infty )[ sqrt [3]({x)^3+(x)^2+x+1}-sqrt ({x)^2+x+1}dfrac (ln ({e)^x+x)}(x)] -|||-__

考查要点：本题主要考查多项式根式的极限展开及泰勒展开的应用，需要将复杂的根式表达式展开为多项式形式，再通过相减求极限。

解题核心思路：

1. 提取主部：对每个根式表达式，提取最高次项的根式，将剩余部分表示为低次项的和。
2. 泰勒展开：对提取后的根式部分进行泰勒展开，保留到常数项或一次项，忽略高阶无穷小。
3. 相减求极限：将展开后的表达式相减，消去主部项，得到常数项即为极限值。

破题关键点：

• 正确展开三次根式和平方根式，注意展开的阶数和系数。
• 处理对数部分时，利用$\ln(e^x + x) = x + \ln(1 + x e^{-x})$简化表达式。

第（1）题：$\lim _{x\rightarrow +\infty } \left[ \sqrt [3]{{x}^{3}+{x}^{2}+x+1} - \sqrt {{x}^{2}+x+1} \right]$

展开三次根式$\sqrt[3]{x^3 + x^2 + x + 1}$

1. 提取主部：
   $\sqrt[3]{x^3 + x^2 + x + 1} = x \sqrt[3]{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^3}}.$
2. 泰勒展开：
   对$(1 + a)^{1/3}$展开到一阶（$a = \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^3}$）：
   $1 + \frac{1}{3}a + o(a).$
3. 化简：
   $x \left[ 1 + \frac{1}{3}\left( \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^3} \right) + o\left( \frac{1}{x} \right) \right] = x + \frac{1}{3} + o\left( \frac{1}{x} \right).$

展开平方根式$\sqrt{x^2 + x + 1}$

1. 提取主部：
   $\sqrt{x^2 + x + 1} = x \sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}}.$
2. 泰勒展开：
   对$(1 + a)^{1/2}$展开到一阶（$a = \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}$）：
   $1 + \frac{1}{2}a + o(a).$
3. 化简：
   $x \left[ 1 + \frac{1}{2}\left( \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} \right) + o\left( \frac{1}{x} \right) \right] = x + \frac{1}{2} + o\left( \frac{1}{x} \right).$

相减求极限

将两部分相减：
$\left( x + \frac{1}{3} + o\left( \frac{1}{x} \right) \right) - \left( x + \frac{1}{2} + o\left( \frac{1}{x} \right) \right) = -\frac{1}{6} + o(1).$
当$x \to +\infty$时，$o(1)$项趋于0，故极限为$-\frac{1}{6}$。