题目
掷一枚骰子,出现的点数是个离散型随机变量,其概率分布为如下。计算数学期望和方差。=(X)_(i) 1 2 3 4 5 6-|||-(X=(X)_(i))=(P)_(i)
掷一枚骰子,出现的点数是个离散型随机变量,其概率分布为如下。计算数学期望和方差。
题目解答
答案
为了计算数学期望（均值）和方差，需要使用离散型随机变量的数学期望和方差的定义。
### 计算数学期望（均值）
数学期望 E(X) 的定义是：
将给定的
和
值代入公式中，我们得到：
### 计算方差
方差 D(X) 或 Var(X) 的定义是：
首先，我们已经知道 E(X) = 3.5。
然后，将，E(X) 和 的值代入方差公式中，我们得到：
故答案是：数学期望和方差各为
；
解析
步骤 1：计算数学期望（均值）
数学期望 E(X) 的定义是：$E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot P(X=x_i)$
将给定的 $x_i$ 和 $P(X=x_i)$ 值代入公式中，我们得到：
$E(X) = 1 \times \frac{1}{6} + 2 \times \frac{1}{6} + 3 \times \frac{1}{6} + 4 \times \frac{1}{6} + 5 \times \frac{1}{6} + 6 \times \frac{1}{6}$
$E(X) = \frac{1}{6} + \frac{2}{6} + \frac{3}{6} + \frac{4}{6} + \frac{5}{6} + \frac{6}{6}$
$E(X) = \frac{21}{6}$
$E(X) = \frac{7}{2}$
步骤 2：计算方差
方差 D(X) 或 Var(X) 的定义是：$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$
首先，我们已经知道 E(X) = $\frac{7}{2}$。
然后，计算 $E(X^2)$：
$E(X^2) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 \cdot P(X=x_i)$
$E(X^2) = 1^2 \times \frac{1}{6} + 2^2 \times \frac{1}{6} + 3^2 \times \frac{1}{6} + 4^2 \times \frac{1}{6} + 5^2 \times \frac{1}{6} + 6^2 \times \frac{1}{6}$
$E(X^2) = \frac{1}{6} + \frac{4}{6} + \frac{9}{6} + \frac{16}{6} + \frac{25}{6} + \frac{36}{6}$
$E(X^2) = \frac{91}{6}$
$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$
$D(X) = \frac{91}{6} - \left(\frac{7}{2}\right)^2$
$D(X) = \frac{91}{6} - \frac{49}{4}$
$D(X) = \frac{91}{6} - \frac{147}{12}$
$D(X) = \frac{182}{12} - \frac{147}{12}$
$D(X) = \frac{35}{12}$
数学期望 E(X) 的定义是：$E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot P(X=x_i)$
将给定的 $x_i$ 和 $P(X=x_i)$ 值代入公式中，我们得到：
$E(X) = 1 \times \frac{1}{6} + 2 \times \frac{1}{6} + 3 \times \frac{1}{6} + 4 \times \frac{1}{6} + 5 \times \frac{1}{6} + 6 \times \frac{1}{6}$
$E(X) = \frac{1}{6} + \frac{2}{6} + \frac{3}{6} + \frac{4}{6} + \frac{5}{6} + \frac{6}{6}$
$E(X) = \frac{21}{6}$
$E(X) = \frac{7}{2}$
步骤 2：计算方差
方差 D(X) 或 Var(X) 的定义是：$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$
首先，我们已经知道 E(X) = $\frac{7}{2}$。
然后，计算 $E(X^2)$：
$E(X^2) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 \cdot P(X=x_i)$
$E(X^2) = 1^2 \times \frac{1}{6} + 2^2 \times \frac{1}{6} + 3^2 \times \frac{1}{6} + 4^2 \times \frac{1}{6} + 5^2 \times \frac{1}{6} + 6^2 \times \frac{1}{6}$
$E(X^2) = \frac{1}{6} + \frac{4}{6} + \frac{9}{6} + \frac{16}{6} + \frac{25}{6} + \frac{36}{6}$
$E(X^2) = \frac{91}{6}$
$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$
$D(X) = \frac{91}{6} - \left(\frac{7}{2}\right)^2$
$D(X) = \frac{91}{6} - \frac{49}{4}$
$D(X) = \frac{91}{6} - \frac{147}{12}$
$D(X) = \frac{182}{12} - \frac{147}{12}$
$D(X) = \frac{35}{12}$