例5 袋中有a只白球,b只红球,k个人依次在袋中取一只球,(1)作放回-|||-抽样;(2)作不放回抽样,求第i (i=1,2,... ,k) 人取到白球(记为事件B)的概-|||-率 (kleqslant a+b).

考查要点：本题主要考查放回抽样与不放回抽样的概率计算，以及排列组合在概率问题中的应用。

解题核心思路：

1. 放回抽样：每次抽球相互独立，概率始终为白球比例。
2. 不放回抽样：利用对称性或排列组合计算，发现各人取到白球的概率仍等于初始比例。

破题关键点：

• 放回抽样的关键是理解每次抽球的独立性。
• 不放回抽样的关键在于认识到所有位置的概率对称性，或通过排列数推导。

(1) 放回抽样

每次抽球后放回，袋中球数和比例不变。第i人抽到白球的概率为：
$P(B) = \frac{a}{a+b}$

(2) 不放回抽样

总基本事件数

从$a+b$个球中取$k$个的排列数：
$A_{a+b}^k = (a+b)(a+b-1)\cdots(a+b-k+1)$

事件B的基本事件数

第i人取白球有$a$种选择，剩余$k-1$人从$a+b-1$个球中取：
$a \cdot A_{a+b-1}^{k-1} = a \cdot (a+b-1)(a+b-2)\cdots(a+b-k+1)$

概率计算

$P(B) = \frac{a \cdot A_{a+b-1}^{k-1}}{A_{a+b}^k} = \frac{a}{a+b}$

关键结论：两种抽样方式下，第i人取到白球的概率均为$\frac{a}{a+b}$，与i无关。