7.设-|||-._(1)=2 , _(n+1)=dfrac (1)(2)((x)_(n)+dfrac (2)({x)_(n)}) , n=1 ,2,3,...-|||-(1)证明limxn存在;-|||-(2)求limxn.-|||-n→∞

考查要点：本题主要考查数列极限的存在性证明及求解，涉及单调有界定理和递推数列的极限求解。

解题思路：

1. 证明极限存在：需验证数列单调有界。通过递推式分析数列的单调性（递减）和下界（$\sqrt{2}$），结合单调有界定理得出极限存在。
2. 求极限值：设极限为$A$，将递推式两边取极限，解方程确定$A$的值。

破题关键：

• 应用算术-几何均值不等式（AM≥GM）证明数列下界为$\sqrt{2}$。
• 通过差值比较判断数列单调递减。
• 代入极限表达式建立方程并求解。

第（1）题：证明$\lim\limits_{n \to \infty} x_n$存在

步骤1：证明数列有下界

由递推式$x_{n+1} = \dfrac{1}{2}\left(x_n + \dfrac{2}{x_n}\right)$，根据算术-几何均值不等式：
$x_{n+1} \geq \sqrt{x_n \cdot \dfrac{2}{x_n}} = \sqrt{2}$
因此，数列$\{x_n\}$对所有$n \geq 1$有下界$\sqrt{2}$。

步骤2：证明数列单调递减

计算相邻两项的差值：
$x_{n} - x_{n+1} = \dfrac{1}{2}\left(x_n - \dfrac{2}{x_n}\right) = \dfrac{x_n^2 - 2}{2x_n}$
由于$x_n \geq \sqrt{2}$，故$x_n^2 \geq 2$，因此$x_{n} - x_{n+1} \geq 0$，即数列$\{x_n\}$单调递减。

结论

数列$\{x_n\}$单调递减且有下界，根据单调有界定理，极限存在。

第（2）题：求$\lim\limits_{n \to \infty} x_n$

步骤1：设极限为$A$

设$\lim\limits_{n \to \infty} x_n = A$，由$x_n \geq \sqrt{2}$知$A \geq \sqrt{2} > 0$。

步骤2：代入递推式取极限

将递推式$x_{n+1} = \dfrac{1}{2}\left(x_n + \dfrac{2}{x_n}\right)$两边取极限：
$A = \dfrac{1}{2}\left(A + \dfrac{2}{A}\right)$

步骤3：解方程

整理方程：
$2A = A + \dfrac{2}{A} \implies A = \dfrac{2}{A} \implies A^2 = 2$
由于$A > 0$，解得$A = \sqrt{2}$。