题目
(9)已知随机变量X的概率密度为fx (x),则 =ax+b(aneq 0) 的概率密度fy(y )等于-|||-(A) _(x)(ay+b). (B) _(x)(dfrac (y-b)(a)).-|||-(C) dfrac (1)(|a|)(f)_(x)(y-b). (D) dfrac (1)(|a|)(f)_(x)(dfrac (y-b)(a))
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定Y的分布函数
$Y=aX+b$ 的分布函数 ${F}_{Y}(y)$ 可以表示为 $P(Y\leqslant y)$，即 $P(aX+b\leqslant y)$。根据 $a$ 的正负，可以将不等式转换为关于 $X$ 的不等式。
步骤 2：转换为关于X的不等式
当 $a>0$ 时，$P(aX+b\leqslant y)=P(X\leqslant \dfrac{y-b}{a})={F}_{X}(\dfrac{y-b}{a})$。
当 $a<0$ 时，$P(aX+b\leqslant y)=P(X\geqslant \dfrac{y-b}{a})=1-{F}_{X}(\dfrac{y-b}{a})$。
步骤 3：求导得到概率密度函数
${f}_{Y}(y)$ 是 ${F}_{Y}(y)$ 的导数。根据步骤2中的结果，当 $a>0$ 时，${f}_{Y}(y)=\dfrac{1}{a}{f}_{X}(\dfrac{y-b}{a})$；当 $a<0$ 时，${f}_{Y}(y)=-\dfrac{1}{a}{f}_{X}(\dfrac{y-b}{a})$。综合两种情况，可以写成 ${f}_{Y}(y)=\dfrac{1}{|a|}{f}_{X}(\dfrac{y-b}{a})$。
$Y=aX+b$ 的分布函数 ${F}_{Y}(y)$ 可以表示为 $P(Y\leqslant y)$，即 $P(aX+b\leqslant y)$。根据 $a$ 的正负，可以将不等式转换为关于 $X$ 的不等式。
步骤 2：转换为关于X的不等式
当 $a>0$ 时，$P(aX+b\leqslant y)=P(X\leqslant \dfrac{y-b}{a})={F}_{X}(\dfrac{y-b}{a})$。
当 $a<0$ 时，$P(aX+b\leqslant y)=P(X\geqslant \dfrac{y-b}{a})=1-{F}_{X}(\dfrac{y-b}{a})$。
步骤 3：求导得到概率密度函数
${f}_{Y}(y)$ 是 ${F}_{Y}(y)$ 的导数。根据步骤2中的结果，当 $a>0$ 时，${f}_{Y}(y)=\dfrac{1}{a}{f}_{X}(\dfrac{y-b}{a})$；当 $a<0$ 时，${f}_{Y}(y)=-\dfrac{1}{a}{f}_{X}(\dfrac{y-b}{a})$。综合两种情况，可以写成 ${f}_{Y}(y)=\dfrac{1}{|a|}{f}_{X}(\dfrac{y-b}{a})$。