题目
注 类似地，(1)设f(x)连续且为奇函数，则下列函数中必为偶函数的为(A) int_(0)^xdu int_(a)^u tf(t)dt. (B) int_(a)^xdu int_(0)^uf(t)dt.(C) int_(0)^xdu int_(a)^uf(t)dt. (D) int_(a)^xdu int_(0)^utf(t)dt.
注 类似地，
(1)设f(x)连续且为奇函数，则下列函数中必为偶函数的为
(A) $\int_{0}^{x}du \int_{a}^{u} tf(t)dt.$ (B) $\int_{a}^{x}du \int_{0}^{u}f(t)dt.$
(C) $\int_{0}^{x}du \int_{a}^{u}f(t)dt.$ (D) $\int_{a}^{x}du \int_{0}^{u}tf(t)dt.$
题目解答
答案
设 $f(x)$ 为奇函数，分析各选项：
- **选项A**：内层积分 $\int_a^u tf(t)dt$（偶函数），外层积分上下限含 $a$，结果非偶函数。
- **选项B**：内层积分 $\int_0^u f(t)dt$（奇函数），外层积分上下限含 $a$，结果非偶函数。
- **选项C**：内层积分 $\int_a^u f(t)dt$（奇函数），外层积分上下限含 $a$，结果非偶函数。
- **选项D**：内层积分 $\int_0^u tf(t)dt$（偶函数），外层积分上下限含 $a$，但当 $a=0$ 时，外层积分为偶函数。
**答案**：$\boxed{D}$
**解析**：选项D中，内层积分为偶函数，外层积分在 $a=0$ 时为偶函数，满足条件。其他选项均无法保证函数为偶函数。
解析
步骤 1：分析选项A
- 内层积分 $\int_{a}^{u} tf(t)dt$，由于 $f(t)$ 是奇函数，$tf(t)$ 是偶函数，因此内层积分为偶函数。
- 外层积分 $\int_{0}^{x}du$，上下限含 $a$，结果非偶函数。
步骤 2：分析选项B
- 内层积分 $\int_{0}^{u} f(t)dt$，由于 $f(t)$ 是奇函数，内层积分为奇函数。
- 外层积分 $\int_{a}^{x}du$，上下限含 $a$，结果非偶函数。
步骤 3：分析选项C
- 内层积分 $\int_{a}^{u} f(t)dt$，由于 $f(t)$ 是奇函数，内层积分为奇函数。
- 外层积分 $\int_{0}^{x}du$，上下限含 $a$，结果非偶函数。
步骤 4：分析选项D
- 内层积分 $\int_{0}^{u} tf(t)dt$，由于 $f(t)$ 是奇函数，$tf(t)$ 是偶函数，因此内层积分为偶函数。
- 外层积分 $\int_{a}^{x}du$，上下限含 $a$，但当 $a=0$ 时，外层积分为偶函数。
- 内层积分 $\int_{a}^{u} tf(t)dt$，由于 $f(t)$ 是奇函数，$tf(t)$ 是偶函数，因此内层积分为偶函数。
- 外层积分 $\int_{0}^{x}du$，上下限含 $a$，结果非偶函数。
步骤 2：分析选项B
- 内层积分 $\int_{0}^{u} f(t)dt$，由于 $f(t)$ 是奇函数，内层积分为奇函数。
- 外层积分 $\int_{a}^{x}du$，上下限含 $a$，结果非偶函数。
步骤 3：分析选项C
- 内层积分 $\int_{a}^{u} f(t)dt$，由于 $f(t)$ 是奇函数，内层积分为奇函数。
- 外层积分 $\int_{0}^{x}du$，上下限含 $a$，结果非偶函数。
步骤 4：分析选项D
- 内层积分 $\int_{0}^{u} tf(t)dt$，由于 $f(t)$ 是奇函数，$tf(t)$ 是偶函数，因此内层积分为偶函数。
- 外层积分 $\int_{a}^{x}du$，上下限含 $a$，但当 $a=0$ 时，外层积分为偶函数。