题目
注 类似地， (1)设f(x)连续且为奇函数，则下列函数中必为偶函数的为 (A. int_(0)^xdu int_(a)^u tf(t)dt.B. int_(a)^xdu int_(0)^uf(t)dt.C. int_(0)^xdu int_(a)^uf(t)dt.D. int_(a)^xdu int_(0)^utf(t)dt.
注 类似地， (1)设f(x)连续且为奇函数，则下列函数中必为偶函数的为 (
A. $\int_{0}^{x}du \int_{a}^{u} tf(t)dt.$
B. $\int_{a}^{x}du \int_{0}^{u}f(t)dt.$
C. $\int_{0}^{x}du \int_{a}^{u}f(t)dt.$
D. $\int_{a}^{x}du \int_{0}^{u}tf(t)dt.$
题目解答
答案
D. $\int_{a}^{x}du \int_{0}^{u}tf(t)dt.$
解析
步骤 1：分析选项A
- 内层积分 $\int_{a}^{u} tf(t)dt$，由于 $f(t)$ 是奇函数，$tf(t)$ 是偶函数，因此内层积分为偶函数。
- 外层积分 $\int_{0}^{x}du$，上下限含 $a$，结果非偶函数。
步骤 2：分析选项B
- 内层积分 $\int_{0}^{u} f(t)dt$，由于 $f(t)$ 是奇函数，内层积分为奇函数。
- 外层积分 $\int_{a}^{x}du$，上下限含 $a$，结果非偶函数。
步骤 3：分析选项C
- 内层积分 $\int_{a}^{u} f(t)dt$，由于 $f(t)$ 是奇函数，内层积分为奇函数。
- 外层积分 $\int_{0}^{x}du$，上下限含 $a$，结果非偶函数。
步骤 4：分析选项D
- 内层积分 $\int_{0}^{u} tf(t)dt$，由于 $f(t)$ 是奇函数，$tf(t)$ 是偶函数，因此内层积分为偶函数。
- 外层积分 $\int_{a}^{x}du$，上下限含 $a$，但当 $a=0$ 时，外层积分为偶函数。
- 内层积分 $\int_{a}^{u} tf(t)dt$，由于 $f(t)$ 是奇函数，$tf(t)$ 是偶函数，因此内层积分为偶函数。
- 外层积分 $\int_{0}^{x}du$，上下限含 $a$，结果非偶函数。
步骤 2：分析选项B
- 内层积分 $\int_{0}^{u} f(t)dt$，由于 $f(t)$ 是奇函数，内层积分为奇函数。
- 外层积分 $\int_{a}^{x}du$，上下限含 $a$，结果非偶函数。
步骤 3：分析选项C
- 内层积分 $\int_{a}^{u} f(t)dt$，由于 $f(t)$ 是奇函数，内层积分为奇函数。
- 外层积分 $\int_{0}^{x}du$，上下限含 $a$，结果非偶函数。
步骤 4：分析选项D
- 内层积分 $\int_{0}^{u} tf(t)dt$，由于 $f(t)$ 是奇函数，$tf(t)$ 是偶函数，因此内层积分为偶函数。
- 外层积分 $\int_{a}^{x}du$，上下限含 $a$，但当 $a=0$ 时，外层积分为偶函数。