题目
[单选题] sum _(n=0)^infty ((-1))^ndfrac (2n+3)((2n+1)!)=A.sin1+cos1B.2sin1+cos1C.2sin1+2cos1D.2sin1+3cos1
[单选题] 
- A.sin1+cos1
- B.2sin1+cos1
- C.2sin1+2cos1
- D.2sin1+3cos1
题目解答
答案
B. 2sin1+cos1
解析
步骤 1：将给定的级数拆分为两个级数
给定级数为 $\sum _{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}\dfrac {2n+3}{(2n+1)!}$，可以将其拆分为两个级数之和，即 $\sum _{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}\dfrac {2n}{(2n+1)!} + \sum _{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}\dfrac {3}{(2n+1)!}$。
步骤 2：分别计算两个级数
对于第一个级数 $\sum _{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}\dfrac {2n}{(2n+1)!}$，可以将其重写为 $2\sum _{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}\dfrac {n}{(2n+1)!}$。注意到 $\dfrac {n}{(2n+1)!} = \dfrac {1}{2}\dfrac {1}{(2n)!}$，因此该级数可以进一步简化为 $2\sum _{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}\dfrac {1}{2}\dfrac {1}{(2n)!} = \sum _{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}\dfrac {1}{(2n)!}$，这是 $\sin x$ 的泰勒级数展开，当 $x=1$ 时，该级数等于 $\sin 1$。
对于第二个级数 $\sum _{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}\dfrac {3}{(2n+1)!}$，注意到 $\dfrac {3}{(2n+1)!} = 3\dfrac {1}{(2n+1)!}$，因此该级数可以进一步简化为 $3\sum _{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}\dfrac {1}{(2n+1)!}$，这是 $\cos x$ 的泰勒级数展开，当 $x=1$ 时，该级数等于 $\cos 1$。
步骤 3：将两个级数的结果相加
将两个级数的结果相加，得到 $\sin 1 + 3\cos 1$。
给定级数为 $\sum _{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}\dfrac {2n+3}{(2n+1)!}$，可以将其拆分为两个级数之和，即 $\sum _{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}\dfrac {2n}{(2n+1)!} + \sum _{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}\dfrac {3}{(2n+1)!}$。
步骤 2：分别计算两个级数
对于第一个级数 $\sum _{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}\dfrac {2n}{(2n+1)!}$，可以将其重写为 $2\sum _{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}\dfrac {n}{(2n+1)!}$。注意到 $\dfrac {n}{(2n+1)!} = \dfrac {1}{2}\dfrac {1}{(2n)!}$，因此该级数可以进一步简化为 $2\sum _{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}\dfrac {1}{2}\dfrac {1}{(2n)!} = \sum _{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}\dfrac {1}{(2n)!}$，这是 $\sin x$ 的泰勒级数展开，当 $x=1$ 时，该级数等于 $\sin 1$。
对于第二个级数 $\sum _{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}\dfrac {3}{(2n+1)!}$，注意到 $\dfrac {3}{(2n+1)!} = 3\dfrac {1}{(2n+1)!}$，因此该级数可以进一步简化为 $3\sum _{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}\dfrac {1}{(2n+1)!}$，这是 $\cos x$ 的泰勒级数展开，当 $x=1$ 时，该级数等于 $\cos 1$。
步骤 3：将两个级数的结果相加
将两个级数的结果相加，得到 $\sin 1 + 3\cos 1$。