下列各题中,函数f(x)和g(x)是否相同?为什么?-|||-(1) (x)=lg (x)^2, (x)=2lg x;-|||-(2) (x)=x, (x)=sqrt ({x)^2};-|||-(3) (x)=sqrt [3]({x)^4-(x)^3} (x)=xsqrt [3](x-1);-|||-(4) (x)=1, (x)=(sec )^2x-(tan )^2x.

判断两个函数是否相同，需同时满足两个条件：定义域相同、对应法则（解析式本质）相同。

1. 定义域不同：即使解析式形式相似，若定义域不同，则函数不同。
2. 对应法则不同：即使定义域相同，若解析式本质不同（如化简后结果不同），则函数不同。
3. 隐含条件：注意对数函数、根式函数、三角函数等的定义域限制。

(1) $f(x)=\lg x^2$，$g(x)=2\lg x$

定义域分析：

• $f(x)$中$\lg x^2$要求$x^2 > 0$，即$x \neq 0$，定义域为$(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$。
• $g(x)$中$\lg x$要求$x > 0$，定义域为$(0, +\infty)$。
  结论：定义域不同，函数不同。

(2) $f(x)=x$，$g(x)=\sqrt{x^2}$

对应法则分析：

• $g(x)=\sqrt{x^2}=|x|=\begin{cases} x, & x \geq 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases}$，与$f(x)=x$在$x < 0$时取值不同。
  结论：对应法则不同，函数不同。

(3) $f(x)=\sqrt[3]{x^4 - x^3}$，$g(x)=x\sqrt[3]{x-1}$

化简分析：

• $f(x)=\sqrt[3]{x^3(x-1)}=x\sqrt[3]{x-1}$，与$g(x)$解析式相同。
• 立方根函数定义域为$\mathbb{R}$，定义域相同。
  结论：定义域和对应法则均相同，函数相同。

(4) $f(x)=1$，$g(x)=\sec^2 x - \tan^2 x$

三角恒等式与定义域分析：

• $\sec^2 x - \tan^2 x = 1$（恒成立），但$\sec x$和$\tan x$要求$\cos x \neq 0$，即$x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$（$k$为整数）。
• $f(x)=1$定义域为$\mathbb{R}$，而$g(x)$定义域为$x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$。
  结论：定义域不同，函数不同。