题目
设gt bgt 0 gt 1，证明 gt bgt 0 gt 1
设
，证明
题目解答
答案
解析
步骤 1：证明左边不等式
考虑函数$f(x) = x^n$，其中$x > 0$。根据拉格朗日中值定理，对于任意$a > b > 0$，存在$\xi \in (b, a)$，使得
$$f'(ξ) = \frac{f(a) - f(b)}{a - b}$$
即
$$nξ^{n-1} = \frac{a^n - b^n}{a - b}$$
由于$\xi \in (b, a)$，所以$b < \xi < a$，从而有
$$nb^{n-1} < nξ^{n-1} < na^{n-1}$$
因此
$$nb^{n-1}(a - b) < a^n - b^n$$
步骤 2：证明右边不等式
由步骤 1 的推导可知
$$nξ^{n-1} = \frac{a^n - b^n}{a - b}$$
由于$b < \xi < a$，所以
$$nb^{n-1} < nξ^{n-1} < na^{n-1}$$
从而
$$a^n - b^n < na^{n-1}(a - b)$$
考虑函数$f(x) = x^n$，其中$x > 0$。根据拉格朗日中值定理，对于任意$a > b > 0$，存在$\xi \in (b, a)$，使得
$$f'(ξ) = \frac{f(a) - f(b)}{a - b}$$
即
$$nξ^{n-1} = \frac{a^n - b^n}{a - b}$$
由于$\xi \in (b, a)$，所以$b < \xi < a$，从而有
$$nb^{n-1} < nξ^{n-1} < na^{n-1}$$
因此
$$nb^{n-1}(a - b) < a^n - b^n$$
步骤 2：证明右边不等式
由步骤 1 的推导可知
$$nξ^{n-1} = \frac{a^n - b^n}{a - b}$$
由于$b < \xi < a$，所以
$$nb^{n-1} < nξ^{n-1} < na^{n-1}$$
从而
$$a^n - b^n < na^{n-1}(a - b)$$