题目
1.求下列极限:-|||-(6) lim _(xarrow 1)dfrac ({x)^4-1}({x)^3-1};
题目解答
答案
解析
步骤 1：因式分解分子和分母
分子 ${x}^{4}-1$ 可以因式分解为 $(x^2+1)(x+1)(x-1)$，分母 ${x}^{3}-1$ 可以因式分解为 $(x-1)(x^2+x+1)$。
步骤 2：简化表达式
将分子和分母的因式分解结果代入原式，得到 $\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {(x^2+1)(x+1)(x-1)}{(x-1)(x^2+x+1)}$。由于 $x\rightarrow 1$，我们可以消去分子和分母中的 $(x-1)$，得到 $\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {(x^2+1)(x+1)}{(x^2+x+1)}$。
步骤 3：计算极限
将 $x=1$ 代入简化后的表达式，得到 $\dfrac {(1^2+1)(1+1)}{(1^2+1+1)} = \dfrac {2\cdot2}{3} = \dfrac {4}{3}$。
分子 ${x}^{4}-1$ 可以因式分解为 $(x^2+1)(x+1)(x-1)$，分母 ${x}^{3}-1$ 可以因式分解为 $(x-1)(x^2+x+1)$。
步骤 2：简化表达式
将分子和分母的因式分解结果代入原式，得到 $\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {(x^2+1)(x+1)(x-1)}{(x-1)(x^2+x+1)}$。由于 $x\rightarrow 1$，我们可以消去分子和分母中的 $(x-1)$，得到 $\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {(x^2+1)(x+1)}{(x^2+x+1)}$。
步骤 3：计算极限
将 $x=1$ 代入简化后的表达式，得到 $\dfrac {(1^2+1)(1+1)}{(1^2+1+1)} = \dfrac {2\cdot2}{3} = \dfrac {4}{3}$。