题目
A、B、C三个人做一种游戏：三个人同时掷一枚硬币，然后比较结果．如果一枚硬币出现与另外两枚硬币不同的面，那么持这枚硬币的人获胜，否则再掷，直到有一人获胜为止．则在6次游戏中C至多获胜1次的概率为 ____ （答案保留3位小数）．
A、B、C三个人做一种游戏：
三个人同时掷一枚硬币，然后比较结果．如果一枚硬币出现与另外两枚硬币不同的面，那么持这枚硬币的人获胜，否则再掷，直到有一人获胜为止．则在6次游戏中C至多获胜1次的概率为 ____ （答案保留3位小数）．
三个人同时掷一枚硬币，然后比较结果．如果一枚硬币出现与另外两枚硬币不同的面，那么持这枚硬币的人获胜，否则再掷，直到有一人获胜为止．则在6次游戏中C至多获胜1次的概率为 ____ （答案保留3位小数）．
题目解答
答案
解：因为一次游戏C获胜的概率为$\frac{2}{{2}^{3}}$=$\frac{1}{4}$，所以在6次游戏中C至多获胜1次的概率为${C}_{6}^{0}$（$\frac{1}{4}$）0（$\frac{3}{4}$）6+${C}_{6}^{1}$（$\frac{1}{4}$）（$\frac{3}{4}$）5≈0.534．
故答案为：0.543．
故答案为：0.543．
解析
步骤 1：计算单次游戏中C获胜的概率
在一次游戏中，C获胜的条件是C的硬币结果与A和B的硬币结果不同。由于硬币有两面，所以C获胜的概率为$\frac{2}{{2}^{3}}$=$\frac{1}{4}$，因为C的硬币可以是正面或反面，而A和B的硬币结果必须与C的硬币结果相反。
步骤 2：计算6次游戏中C至多获胜1次的概率
在6次游戏中，C至多获胜1次的概率包括两种情况：C一次都没有获胜和C恰好获胜一次。使用二项分布公式，我们可以计算这两种情况的概率。二项分布的概率公式为$P(X=k)={C}_{n}^{k}p^{k}(1-p)^{n-k}$，其中$n$是试验次数，$k$是成功次数，$p$是单次试验成功的概率。
- C一次都没有获胜的概率为${C}_{6}^{0}(\frac{1}{4})^{0}(\frac{3}{4})^{6}$。
- C恰好获胜一次的概率为${C}_{6}^{1}(\frac{1}{4})^{1}(\frac{3}{4})^{5}$。
将这两个概率相加，得到C至多获胜1次的概率。
步骤 3：计算最终概率
将步骤2中计算出的两个概率相加，得到C至多获胜1次的概率。使用计算器计算结果并保留3位小数。
在一次游戏中，C获胜的条件是C的硬币结果与A和B的硬币结果不同。由于硬币有两面，所以C获胜的概率为$\frac{2}{{2}^{3}}$=$\frac{1}{4}$，因为C的硬币可以是正面或反面，而A和B的硬币结果必须与C的硬币结果相反。
步骤 2：计算6次游戏中C至多获胜1次的概率
在6次游戏中，C至多获胜1次的概率包括两种情况：C一次都没有获胜和C恰好获胜一次。使用二项分布公式，我们可以计算这两种情况的概率。二项分布的概率公式为$P(X=k)={C}_{n}^{k}p^{k}(1-p)^{n-k}$，其中$n$是试验次数，$k$是成功次数，$p$是单次试验成功的概率。
- C一次都没有获胜的概率为${C}_{6}^{0}(\frac{1}{4})^{0}(\frac{3}{4})^{6}$。
- C恰好获胜一次的概率为${C}_{6}^{1}(\frac{1}{4})^{1}(\frac{3}{4})^{5}$。
将这两个概率相加，得到C至多获胜1次的概率。
步骤 3：计算最终概率
将步骤2中计算出的两个概率相加，得到C至多获胜1次的概率。使用计算器计算结果并保留3位小数。