题目
[题目]设函数f (x)在 x=0 处连续,下列命题错误-|||-的是 ()-|||-A.若 lim _(xarrow 0)dfrac (f(x))(x) 存在,则 f(0)=0-|||-B.若 lim _(xarrow 0)dfrac (f(x)+f(-x))(x) 存在,则 f(0)=0-|||-C.若 lim _(xarrow 0)dfrac (f(x))(x) 存在,则f`(0)存在-|||-D.若 lim _(xarrow 0)dfrac (f(x)-f(-x))(x) 存在,则f(0)存在
题目解答
答案
解析
步骤 1：分析选项A
由函数f(x)在 x=0 处连续，有 $\lim _{x\rightarrow 0}f(x)=f(0)$。若 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(x)}{x}$ 存在，那么 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(x)}{x}=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(0)}{x}$。若 $f(0)\neq 0$，则 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(x)}{x}=\infty$，这与 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(x)}{x}$ 存在矛盾。因此，$f(0)=0$。
步骤 2：分析选项B
若 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(x)+f(-x)}{x}$ 存在，那么 $\lim _{x\rightarrow 0}[ f(x)+f(-x)] =2f(0)$。根据步骤1的分析，$f(0)=0$，因此 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(x)+f(-x)}{x}$ 存在。
步骤 3：分析选项C
若 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(x)}{x}$ 存在，那么 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(x)}{x}=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(x)-f(0)}{x}=f'(0)$，因此f'(0)存在。
步骤 4：分析选项D
若 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(x)-f(-x)}{x}$ 存在，那么 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(x)-f(-x)}{x}$ 存在。但是，这并不意味着f'(0)存在。例如，f(x)=|x|在x=0处连续，但f'(0)不存在。
由函数f(x)在 x=0 处连续，有 $\lim _{x\rightarrow 0}f(x)=f(0)$。若 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(x)}{x}$ 存在，那么 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(x)}{x}=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(0)}{x}$。若 $f(0)\neq 0$，则 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(x)}{x}=\infty$，这与 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(x)}{x}$ 存在矛盾。因此，$f(0)=0$。
步骤 2：分析选项B
若 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(x)+f(-x)}{x}$ 存在，那么 $\lim _{x\rightarrow 0}[ f(x)+f(-x)] =2f(0)$。根据步骤1的分析，$f(0)=0$，因此 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(x)+f(-x)}{x}$ 存在。
步骤 3：分析选项C
若 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(x)}{x}$ 存在，那么 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(x)}{x}=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(x)-f(0)}{x}=f'(0)$，因此f'(0)存在。
步骤 4：分析选项D
若 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(x)-f(-x)}{x}$ 存在，那么 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(x)-f(-x)}{x}$ 存在。但是，这并不意味着f'(0)存在。例如，f(x)=|x|在x=0处连续，但f'(0)不存在。