[题目]函数 (x)=xsqrt (3-x) 在[0,3]上满足罗尔定-|||-理中的值是多少?

罗尔定理的条件包括：函数在闭区间连续，开区间可导，且端点函数值相等。本题中，函数$f(x)=x\sqrt{3-x}$在区间$[0,3]$上满足这些条件。关键步骤是求导并解方程$f'(x)=0$，找到导数为零的点。

步骤1：验证罗尔定理的条件

1. 连续性：$\sqrt{3-x}$在$[0,3]$上连续，乘以$x$后仍连续。
2. 可导性：在开区间$(0,3)$内，函数可导。
3. 端点值：$f(0)=0$，$f(3)=0$，满足$f(0)=f(3)$。

步骤2：求导数$f'(x)$

使用乘积法则：
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x) \cdot \sqrt{3-x} + x \cdot \frac{d}{dx}(\sqrt{3-x}) = \sqrt{3-x} - \frac{x}{2\sqrt{3-x}}$

步骤3：解方程$f'(x)=0$

$\sqrt{3-x} - \frac{x}{2\sqrt{3-x}} = 0$
两边乘以$2\sqrt{3-x}$：
$2(3-x) - x = 0 \implies 6 - 3x = 0 \implies x = 2$