题目
5.单选题极限lim _(xarrow dfrac {pi )(2)}((1+cot x))^tan x=( )A.1B.eC.lim _(xarrow dfrac {pi )(2)}((1+cot x))^tan xD.不存在
5.单选题
极限
=( )
A.1
B.e
C.
D.不存在
题目解答
答案
B
=
，根据特殊函数的极限
可知原式=e，故答案选B.
解析
步骤 1：转换极限形式
将给定的极限$\lim _{x\rightarrow \dfrac {\pi }{2}}{(1+\cot x)}^{\tan x}$转换为更易于处理的形式。注意到$\cot x = \frac{1}{\tan x}$，因此原极限可以写为$\lim _{x\rightarrow \dfrac {\pi }{2}}{(1+\frac{1}{\tan x})}^{\tan x}$。
步骤 2：应用指数函数的极限性质
根据指数函数的极限性质，$\lim _{x\rightarrow \infty }{(1+\frac{1}{x})}^{x}=e$。为了应用这一性质，我们需要将原极限转换为类似的形式。注意到当$x\rightarrow \dfrac {\pi }{2}$时，$\tan x\rightarrow \infty$，因此原极限可以写为$\lim _{x\rightarrow \infty }{(1+\frac{1}{x})}^{x}$的形式，其中$x=\tan x$。
步骤 3：得出结论
根据步骤2中的分析，原极限$\lim _{x\rightarrow \dfrac {\pi }{2}}{(1+\cot x)}^{\tan x}$等价于$\lim _{x\rightarrow \infty }{(1+\frac{1}{x})}^{x}$，根据指数函数的极限性质，该极限等于$e$。
将给定的极限$\lim _{x\rightarrow \dfrac {\pi }{2}}{(1+\cot x)}^{\tan x}$转换为更易于处理的形式。注意到$\cot x = \frac{1}{\tan x}$，因此原极限可以写为$\lim _{x\rightarrow \dfrac {\pi }{2}}{(1+\frac{1}{\tan x})}^{\tan x}$。
步骤 2：应用指数函数的极限性质
根据指数函数的极限性质，$\lim _{x\rightarrow \infty }{(1+\frac{1}{x})}^{x}=e$。为了应用这一性质，我们需要将原极限转换为类似的形式。注意到当$x\rightarrow \dfrac {\pi }{2}$时，$\tan x\rightarrow \infty$，因此原极限可以写为$\lim _{x\rightarrow \infty }{(1+\frac{1}{x})}^{x}$的形式，其中$x=\tan x$。
步骤 3：得出结论
根据步骤2中的分析，原极限$\lim _{x\rightarrow \dfrac {\pi }{2}}{(1+\cot x)}^{\tan x}$等价于$\lim _{x\rightarrow \infty }{(1+\frac{1}{x})}^{x}$，根据指数函数的极限性质，该极限等于$e$。