题目
据美国的一份资料显示,在美国患肺癌的概率为0.1%, 在人群中有20%是吸烟者,他们患肺癌的概率为0.4%.问:(1) 不吸烟者患肺癌的概率是多少?(2)如果某人查出患有肺癌,那么他是吸烟者的概率是多少?
据美国的一份资料显示,在美国患肺癌的概率为0.1%, 在人群中有20%是吸烟者,他们患肺癌的概率为0.4%.问:
(1) 不吸烟者患肺癌的概率是多少?
(2)如果某人查出患有肺癌,那么他是吸烟者的概率是多少?
题目解答
答案
(1)设美国总人口数为$$a$$，则患肺癌的有$$0.001a$$人
吸烟者有$$0.2a$$人，吸烟患肺癌的有$$0.4\times 0.2a=0.0008a$$人
∴不吸烟者$$0.8a$$，不吸烟患肺癌的有$$0.001a-0.0008a=0.0002a$$人
∴不吸烟患肺癌的概率为$${{0.0002a}\over{0.8a} }=0.00025=0.025$$$$\% $$
(2)$$P=$$$${{0.0008a}\over{0.001a} }={{4}\over{5} }$$
解析
步骤 1：定义事件
设事件A为“患肺癌”，事件B为“吸烟”，事件$$\overline{B}$$为“不吸烟”。
步骤 2：计算不吸烟者患肺癌的概率
根据题意，已知$$P(A)=0.001$$，$$P(B)=0.2$$，$$P(A|B)=0.004$$。
根据条件概率公式，$$P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}$$，可以求出$$P(AB)=P(A|B)P(B)=0.004\times0.2=0.0008$$。
不吸烟者患肺癌的概率为$$P(A|\overline{B})=\frac{P(A\overline{B})}{P(\overline{B})}$$，其中$$P(\overline{B})=1-P(B)=0.8$$，$$P(A\overline{B})=P(A)-P(AB)=0.001-0.0008=0.0002$$。
因此，$$P(A|\overline{B})=\frac{0.0002}{0.8}=0.00025$$。
步骤 3：计算某人查出患有肺癌是吸烟者的概率
根据贝叶斯公式，$$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$$，可以求出$$P(B|A)=\frac{0.0008}{0.001}=0.8$$。
设事件A为“患肺癌”，事件B为“吸烟”，事件$$\overline{B}$$为“不吸烟”。
步骤 2：计算不吸烟者患肺癌的概率
根据题意，已知$$P(A)=0.001$$，$$P(B)=0.2$$，$$P(A|B)=0.004$$。
根据条件概率公式，$$P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}$$，可以求出$$P(AB)=P(A|B)P(B)=0.004\times0.2=0.0008$$。
不吸烟者患肺癌的概率为$$P(A|\overline{B})=\frac{P(A\overline{B})}{P(\overline{B})}$$，其中$$P(\overline{B})=1-P(B)=0.8$$，$$P(A\overline{B})=P(A)-P(AB)=0.001-0.0008=0.0002$$。
因此，$$P(A|\overline{B})=\frac{0.0002}{0.8}=0.00025$$。
步骤 3：计算某人查出患有肺癌是吸烟者的概率
根据贝叶斯公式，$$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$$，可以求出$$P(B|A)=\frac{0.0008}{0.001}=0.8$$。