题目
设a,b为常数,且 lim _(xarrow infty )(sqrt [3](1-{x)^6}-a(x)^2-b)=0, 则 a= __ b= __ .
题目解答
答案
解析
步骤 1：泰勒展开
当 $x \rightarrow \infty$ 时，我们可以使用泰勒展开来近似 $\sqrt[3]{1-x^6}$。泰勒展开式为：
$$
\sqrt[3]{1-x^6} = (1-x^6)^{1/3} = 1 - \frac{1}{3}x^6 + O(x^{-12})
$$
步骤 2：简化表达式
将泰勒展开式代入原式，得到：
$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \left(1 - \frac{1}{3}x^6 + O(x^{-12}) - ax^2 - b\right) = 0
$$
步骤 3：确定常数a和b
为了使极限为0，我们需要使 $- \frac{1}{3}x^6$ 与 $-ax^2$ 相互抵消，同时 $1$ 与 $-b$ 相互抵消。因此，我们得到：
$$
a = -\frac{1}{3}x^4 \quad \text{和} \quad b = 1
$$
由于 $x \rightarrow \infty$，$a$ 必须为常数，因此 $a = -1$。
当 $x \rightarrow \infty$ 时，我们可以使用泰勒展开来近似 $\sqrt[3]{1-x^6}$。泰勒展开式为：
$$
\sqrt[3]{1-x^6} = (1-x^6)^{1/3} = 1 - \frac{1}{3}x^6 + O(x^{-12})
$$
步骤 2：简化表达式
将泰勒展开式代入原式，得到：
$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \left(1 - \frac{1}{3}x^6 + O(x^{-12}) - ax^2 - b\right) = 0
$$
步骤 3：确定常数a和b
为了使极限为0，我们需要使 $- \frac{1}{3}x^6$ 与 $-ax^2$ 相互抵消，同时 $1$ 与 $-b$ 相互抵消。因此，我们得到：
$$
a = -\frac{1}{3}x^4 \quad \text{和} \quad b = 1
$$
由于 $x \rightarrow \infty$，$a$ 必须为常数，因此 $a = -1$。