设随机变量X的分布函数为-|||-_(x)(x)= .-|||-(2)求概率密度fx (x).

考查要点：本题主要考查分布函数的性质及其应用，以及概率密度函数的求解方法。

解题思路：

1. 分布函数的应用：利用分布函数计算概率时，需注意：
   • 连续型随机变量在任意单点的概率为0，即$P\{X=a\}=0$；
   • 概率计算公式：$P\{a < X \leq b\} = F_X(b) - F_X(a)$；
   • 若区间端点超出分布函数定义域，需结合分段情况处理。
2. 概率密度函数求解：概率密度函数是分布函数的导数，需在分布函数连续且可导的区间内求导，其他区间取0。

破题关键：

• 识别分布函数的分段区间，明确各区间对应的表达式；
• 正确应用分布函数的差分性质计算概率；
• 求导时注意区间限制，确保概率密度函数的分段正确。

(1) 求概率

$P\{ X < 2 \}$

• 连续型随机变量在单点概率为0，故$P\{ X < 2 \} = P\{ X \leq 2 \}$；
• 根据分布函数，$F_X(2) = \ln 2$（因$1 \leq 2 < e$）；
• 结果：$P\{ X < 2 \} = \ln 2$。

$P\{ 0 < X \leq 3 \}$

• 分解为$F_X(3) - F_X(0)$；
• $F_X(3) = 1$（因$3 \geq e$），$F_X(0) = 0$（因$0 < 1$）；
• 结果：$P\{ 0 < X \leq 3 \} = 1 - 0 = 1$。

$P\{ 2 < X < \dfrac{5}{2} \}$

• 分解为$F_X\left(\dfrac{5}{2}\right) - F_X(2)$；
• $\dfrac{5}{2} = 2.5 < e$，故$F_X\left(\dfrac{5}{2}\right) = \ln \dfrac{5}{2}$；
• $F_X(2) = \ln 2$；
• 结果：$\ln \dfrac{5}{2} - \ln 2 = \ln \dfrac{5}{4}$。

(2) 求概率密度函数$f_X(x)$

• 求导法则：$f_X(x) = \dfrac{d}{dx} F_X(x)$；
• 在区间$(1, e)$内，$F_X(x) = \ln x$，导数为$\dfrac{1}{x}$；
• 其他区间，$F_X(x)$为常数，导数为0；
• 结果：$f_X(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{x}, & 1 < x < e, \\ 0, & \text{其他}. \end{cases}$