题目
求函数 =arcsin dfrac (x-1)(5)+dfrac (1)(sqrt {25-{x)^2}} 的定义域.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定 $\arcsin \dfrac {x-1}{5}$ 的定义域
函数 $\arcsin \dfrac {x-1}{5}$ 的定义域要求 $\dfrac {x-1}{5}$ 的值域在 $[-1,1]$ 内，即 $|\dfrac {x-1}{5}|\leqslant 1$。解这个不等式，得到 $-4\leqslant x\leqslant 6$。
步骤 2：确定 $\dfrac {1}{\sqrt {25-{x}^{2}}}$ 的定义域
函数 $\dfrac {1}{\sqrt {25-{x}^{2}}}$ 的定义域要求 $25-{x}^{2}\gt 0$，即 ${x}^{2}\lt 25$。解这个不等式，得到 $-5\lt x\lt 5$。
步骤 3：求两个定义域的交集
函数 $y=\arcsin \dfrac {x-1}{5}+\dfrac {1}{\sqrt {25-{x}^{2}}}$ 的定义域为两个定义域的交集，即 $[-4,6]$ 和 $(-5,5)$ 的交集，得到 $[-4,5)$。
函数 $\arcsin \dfrac {x-1}{5}$ 的定义域要求 $\dfrac {x-1}{5}$ 的值域在 $[-1,1]$ 内，即 $|\dfrac {x-1}{5}|\leqslant 1$。解这个不等式，得到 $-4\leqslant x\leqslant 6$。
步骤 2：确定 $\dfrac {1}{\sqrt {25-{x}^{2}}}$ 的定义域
函数 $\dfrac {1}{\sqrt {25-{x}^{2}}}$ 的定义域要求 $25-{x}^{2}\gt 0$，即 ${x}^{2}\lt 25$。解这个不等式，得到 $-5\lt x\lt 5$。
步骤 3：求两个定义域的交集
函数 $y=\arcsin \dfrac {x-1}{5}+\dfrac {1}{\sqrt {25-{x}^{2}}}$ 的定义域为两个定义域的交集，即 $[-4,6]$ 和 $(-5,5)$ 的交集，得到 $[-4,5)$。