发报台分别以概率 0.6 和 0.4 发出信号“ 1”和“ 0”。由于通讯系统受到干扰,当发出信号“ 1”时,收报台未必收到信号“ 1”,而是分别以概率 0.8 和 0.2 收到信号“ 1”和“0”;同时,当发出信号“ 0”时,收报台分别以概率 0.9 和 0.1 收到信号“ 0”和“ 1”。求(1)收报台收到信号“ 1”的概率;(2)当收报台收到信号“ 1”时,发报台确是发出信号“ 1”的概率。

考查要点：本题主要考查全概率公式和贝叶斯公式的应用，涉及条件概率的理解与计算。

解题思路：

1. 第一问：计算收报台收到信号“1”的总概率。需要考虑发报台发出“1”和“0”两种情况，分别计算对应的条件概率，再通过全概率公式加权求和。
2. 第二问：已知收到“1”时，求发报台实际发出“1”的概率。这需要利用贝叶斯公式，结合第一问的结果进行逆向计算。

关键点：

• 全概率公式用于将复杂事件分解为互斥子事件的组合。
• 贝叶斯公式用于在已知结果的情况下，更新先验概率得到后验概率。

第（1）题

目标：计算收报台收到信号“1”的概率 $P(A)$。

定义事件

• $A_1$：发报台发出信号“1”（概率 $P(A_1) = 0.6$）。
• $A_0$：发报台发出信号“0”（概率 $P(A_0) = 0.4$）。
• $A$：收报台收到信号“1”。

应用全概率公式

$P(A) = P(A|A_1)P(A_1) + P(A|A_0)P(A_0)$

代入已知条件

• 当发报台发出“1”时，收到“1”的概率 $P(A|A_1) = 0.8$。
• 当发报台发出“0”时，收到“1”的概率 $P(A|A_0) = 0.1$。

计算得：
$P(A) = 0.8 \times 0.6 + 0.1 \times 0.4 = 0.48 + 0.04 = 0.52$

第（2）题

目标：计算在收到“1”的情况下，发报台实际发出“1”的概率 $P(A_1|A)$。

应用贝叶斯公式

$P(A_1|A) = \frac{P(A|A_1)P(A_1)}{P(A)}$

代入已知值

• $P(A|A_1) = 0.8$，$P(A_1) = 0.6$，$P(A) = 0.52$（第一问结果）。

计算得：
$P(A_1|A) = \frac{0.8 \times 0.6}{0.52} = \frac{0.48}{0.52} = \frac{12}{13}$