题目
2.已知解析函数f(z )的实部u(x,y )或虚部v(x,y ),求该解析函数.-|||-(1) =(e)^xsin y,-|||-(2) =(e)^x(xcos y-ysin y) (0)=0,-|||-(3) =dfrac (2sin 2x)({e)^2y+(e)^-2y-2cos 2x} ,f(π/2)=0,-|||-(4) =dfrac (y)({x)^2+(y)^2} (2)=0,-|||-(5) =dfrac ({x)^2-(y)^2}({({x)^2+(y)^2)}^2} (omega )=0,-|||-(6) =(x)^2-(y)^2+xy (0)=0,-|||-(7) =(x)^3-3x(y)^2 (0)=0,-|||-(8) =(x)^3+6(x)^2y-3x(y)^2-2(y)^3 (0)=0-|||-(9) =(x)^4-6(x)^2(y)^2+(y)^4 (0)=0,-|||-(10) =ln rho , (1)=0,-|||-(11) =varphi , (1)=0.
题目解答
答案
解析
步骤 1：解析函数的实部和虚部满足柯西-黎曼方程
解析函数f(z)的实部u(x,y)和虚部v(x,y)满足柯西-黎曼方程：
$$
\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}
$$
步骤 2：求解虚部v(x,y)
根据柯西-黎曼方程，可以求解虚部v(x,y)。对于每个给定的实部u(x,y)，我们可以通过积分或直接求解来找到对应的虚部v(x,y)。
步骤 3：确定解析函数f(z)
将实部u(x,y)和虚部v(x,y)代入复数z=x+iy中，得到解析函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)。
步骤 4：应用初始条件
根据题目中给出的初始条件，如f(0)=0，f(π/2)=0等，确定解析函数中的任意常数。
解析函数f(z)的实部u(x,y)和虚部v(x,y)满足柯西-黎曼方程：
$$
\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}
$$
步骤 2：求解虚部v(x,y)
根据柯西-黎曼方程，可以求解虚部v(x,y)。对于每个给定的实部u(x,y)，我们可以通过积分或直接求解来找到对应的虚部v(x,y)。
步骤 3：确定解析函数f(z)
将实部u(x,y)和虚部v(x,y)代入复数z=x+iy中，得到解析函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)。
步骤 4：应用初始条件
根据题目中给出的初始条件，如f(0)=0，f(π/2)=0等，确定解析函数中的任意常数。