sum _ (n=1) ^ ( infty )( (n! )^2)div (n^n)z^n;的收敛半径_。 A. 1;B. 0;C. infty ; D. 不存在,也不为infty

考查要点：本题主要考查幂级数收敛半径的求解方法，特别是利用根值法（Cauchy-Hadamard定理）结合斯特林公式进行近似计算的能力。

解题核心思路：

1. 识别级数形式：题目给出的级数为 $\sum_{n=1}^\infty \frac{(n!)^2}{n^n} z^n$，需确定其收敛半径 $R$。
2. 应用根值法：根据公式 $\frac{1}{R} = \limsup_{n \to \infty} |a_n|^{1/n}$，其中 $a_n = \frac{(n!)^2}{n^n}$。
3. 斯特林公式近似：利用斯特林公式 $n! \approx n^n e^{-n} \sqrt{2\pi n}$ 简化计算，分析极限行为。
4. 极限分析：通过近似展开，证明 $\lim_{n \to \infty} |a_n|^{1/n} = +\infty$，从而得出 $R = 0$。

破题关键点：

• 正确应用根值法公式，明确 $a_n$ 的表达式。
• 斯特林公式的灵活运用，将阶乘转化为指数形式简化计算。
• 极限分析，抓住主导项 $n e^{-2}$ 的增长趋势，判断极限为无穷大。

步骤1：确定通项系数

级数通项为 $a_n z^n$，其中 $a_n = \frac{(n!)^2}{n^n}$。

步骤2：应用根值法公式

根据收敛半径公式：
$\frac{1}{R} = \limsup_{n \to \infty} |a_n|^{1/n} = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{(n!)^2}{n^n} \right)^{1/n}.$

步骤3：斯特林公式近似

利用斯特林公式 $n! \approx n^n e^{-n} \sqrt{2\pi n}$，代入得：
$a_n \approx \frac{(n^n e^{-n} \sqrt{2\pi n})^2}{n^n} = \frac{n^{2n} e^{-2n} (2\pi n)}{n^n} = n^n e^{-2n} (2\pi n).$

步骤4：计算极限

将 $a_n$ 代入根值法公式：
$|a_n|^{1/n} = \left( n^n e^{-2n} (2\pi n) \right)^{1/n} = n e^{-2} (2\pi n)^{1/n}.$
当 $n \to \infty$ 时，$(2\pi n)^{1/n} \to 1$，因此：
$\lim_{n \to \infty} |a_n|^{1/n} = \lim_{n \to \infty} n e^{-2} = +\infty.$

步骤5：求收敛半径

由 $\frac{1}{R} = +\infty$，得 $R = 0$。