设 (x+y,x-y)=2((x)^2+(y)^2)(e)^(x^2-{y)^2}, 则 _(x)'(x,y)-(f)_(y)'(x,y)= __

考查要点：本题主要考查多元复合函数的变量替换及偏导数的计算，需要学生掌握链式法则的应用，并能灵活进行代数变形。

解题核心思路：

1. 变量替换：引入中间变量$u = x + y$，$v = x - y$，将原函数$f(x+y, x-y)$转换为关于$u$和$v$的表达式。
2. 函数表达式推导：通过代数运算，将原式中的$x$和$y$用$u$和$v$表示，得到$f(u, v)$的显式表达式。
3. 偏导数计算：将$f(u, v)$转换为关于$x$和$y$的函数$f(x, y)$，分别求$f'_x$和$f'_y$，再作差化简。

破题关键点：

• 正确进行变量替换，将$x$和$y$用$u$和$v$表示，并代入原式推导$f(u, v)$。
• 准确应用乘积法则求偏导数，注意指数函数与多项式的乘积形式。
• 代数化简，将结果整理为因式分解的形式。

变量替换与函数表达式推导

令$u = x + y$，$v = x - y$，则原式$f(x+y, x-y) = 2(x^2 + y^2)e^{x^2 - y^2}$可转换为：
$f(u, v) = (u^2 + v^2)e^{uv}$
将$u$和$v$替换为$x$和$y$，得：
$f(x, y) = (x^2 + y^2)e^{xy}$

偏导数计算

1. 计算$f'_x$
应用乘积法则：
$\begin{aligned}f'_x &= \frac{\partial}{\partial x}\left[(x^2 + y^2)e^{xy}\right] \\&= (2x)e^{xy} + (x^2 + y^2)e^{xy} \cdot y \\&= e^{xy} \left[2x + y(x^2 + y^2)\right]\end{aligned}$

2. 计算$f'_y$
同理，应用乘积法则：
$\begin{aligned}f'_y &= \frac{\partial}{\partial y}\left[(x^2 + y^2)e^{xy}\right] \\&= (2y)e^{xy} + (x^2 + y^2)e^{xy} \cdot x \\&= e^{xy} \left[2y + x(x^2 + y^2)\right]\end{aligned}$

作差化简

$\begin{aligned}f'_x - f'_y &= e^{xy} \left[2x + y(x^2 + y^2)\right] - e^{xy} \left[2y + x(x^2 + y^2)\right] \\&= e^{xy} \left[2x - 2y + (y - x)(x^2 + y^2)\right] \\&= e^{xy} (x - y) \left[2 - (x^2 + y^2)\right]\end{aligned}$