f(x)在x=0的某邻域内有定义，f(0)=0，则下述条件能保证f'(0)存在的是(1)/(h)f[ln(1-h)]存在. (B)lim_(hto0)(1)/(h^2)f(sqrt(1+h^2)-1)存在.(1)/(h^2)f(tan h-sin h)存在. (D)lim_(hto0)(1)/(h)[f(2h)-f(h)]存在.

为了确定哪个条件能保证 $ f'(0) $ 存在，我们需要分析每个选项中给出的极限与 $ f'(0) $ 的关系。 ### 选项 (A): $\lim_{h \to 0} \frac{1}{h} f[\ln(1-h)]$ 存在 首先，考虑 $ \ln(1-h) $ 当 $ h \to 0 $ 时的 behavior. 使用泰勒展开，我们有: \[ \ln(1-h) = -h - \frac{h^2}{2} + O(h^3) \] 因此，当 $ h \to 0 $ 时， $ \ln(1-h) \approx -h $. 所以: \[ \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} f[\ln(1-h)] \approx \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} f(-h) = -\lim_{h \to 0} \frac{f(-h)}{h} \] 如果 $ f'(0) $ 存在，那么 $ \lim_{h \to 0} \frac{f(-h)}{h} = -f'(0) $，从而: \[ \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} f[\ln(1-h)] = f'(0) \] 然而，这个条件只保证了 $ f $ 在 $ 0 $ 点的左导数存在，而不能保证 $ f $ 在 $ 0 $ 点的右导数存在，因此不能保证 $ f'(0) $ 存在。 ### 选项 (B): $\lim_{h \to 0} \frac{1}{h^2} f(\sqrt{1+h^2} - 1)$ 存在 考虑 $ \sqrt{1+h^2} - 1 $ 当 $ h \to 0 $ 时的 behavior. 使用泰勒展开，我们有: \[ \sqrt{1+h^2} = 1 + \frac{h^2}{2} + O(h^4) \] 因此，当 $ h \to 0 $ 时， $ \sqrt{1+h^2} - 1 \approx \frac{h^2}{2} $. 所以: \[ \lim_{h \to 0} \frac{1}{h^2} f(\sqrt{1+h^2} - 1) \approx \lim_{h \to 0} \frac{1}{h^2} f\left(\frac{h^2}{2}\right) = \lim_{h \to 0} \frac{f\left(\frac{h^2}{2}\right)}{\frac{h^2}{2}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{f'(0)}{2} \] 如果这个极限存在，那么 $ f'(0) $ 也存在。 ### 选项 (C): $\lim_{h \to 0} \frac{1}{h^2} f(\tan h - \sin h)$ 存在 考虑 $ \tan h - \sin h $ 当 $ h \to 0 $ 时的 behavior. 使用泰勒展开，我们有: \[ \tan h = h + \frac{h^3}{3} + O(h^5), \quad \sin h = h - \frac{h^3}{6} + O(h^5) \] 因此，当 $ h \to 0 $ 时， $ \tan h - \sin h \approx \frac{h^3}{2} $. 所以: \[ \lim_{h \to 0} \frac{1}{h^2} f(\tan h - \sin h) \approx \lim_{h \to 0} \frac{1}{h^2} f\left(\frac{h^3}{2}\right) = \lim_{h \to 0} \frac{f\left(\frac{h^3}{2}\right)}{\frac{h^3}{2}} \cdot \frac{h}{2} = 0 \] 这个极限总是存在，无论 $ f'(0) $ 是否存在，因此不能保证 $ f'(0) $ 存在。 ### 选项 (D): $\lim_{h \to 0} \frac{1}{h} [f(2h) - f(h)]$ 存在 考虑: \[ \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} [f(2h) - f(h)] = \lim_{h \to 0} \frac{f(2h) - f(0) - (f(h) - f(0))}{h} = \lim_{h \to 0} \left( \frac{f(2h) - f(0)}{h} - \frac{f(h) - f(0)}{h} \right) \] \[ = \lim_{h \to 0} \left( 2 \cdot \frac{f(2h) - f(0)}{2h} - \frac{f(h) - f(0)}{h} \right) = 2f'(0) - f'(0) = f'(0) \] 如果这个极限存在，那么 $ f'(0) $ 也存在。 ### 结论 选项 (B) 和选项 (D) 都能保证 $ f'(0) $ 存在，但题目要求选择一个，根据题意，我们选择更直接的条件，即选项 (B). \[ \boxed{B} \]