题目

2.已知A^2-3A=E，则A的逆矩阵A^-1=____.

2.已知$A^{2}-3A=E$，则A的逆矩阵$A^{-1}=$____.

题目解答

答案

由已知条件 $A^2 - 3A = E$，可重写为 $A(A - 3E) = E$。根据逆矩阵的定义，若存在矩阵 $B$ 使得 $AB = E$，则 $B = A^{-1}$。因此，$A - 3E$ 即为 $A$ 的逆矩阵。 解得： \[ A^{-1} = A - 3E \] 答案：$\boxed{A - 3E}$

解析

考查要点：本题主要考查逆矩阵的定义及其应用，以及矩阵方程的变形能力。
解题核心思路：通过对方程进行因式分解，将其转化为符合逆矩阵定义的形式，从而直接得出结果。
破题关键点：

  1. 逆矩阵的定义：若存在矩阵$B$使得$AB = E$，则$B = A^{-1}$。
  2. 方程变形：将原方程$A^2 - 3A = E$变形为$A(A - 3E) = E$，从而直接关联到逆矩阵的定义。

  1. 方程变形：
    原方程为$A^2 - 3A = E$，将其左边提取公因子$A$，得到：
    $A(A - 3E) = E.$

  2. 应用逆矩阵定义：
    根据逆矩阵的定义，若$A \cdot B = E$，则$B = A^{-1}$。
    在变形后的方程中，$B$对应的是$(A - 3E)$，因此：
    $A^{-1} = A - 3E.$