题目
26.简答题证明int_(L)(3x^2+2xy^3)dx+(3x^2y^2+2y)dy与积分路径无关，并求int_((-2,-1))^(3,0)(3x^2+2xy^3)dx+(3x^2y^2+2y)dy.
26.简答题
证明$\int_{L}(3x^{2}+2xy^{3})dx+(3x^{2}y^{2}+2y)dy$与积分路径无关，并求
$\int_{(-2,-1)}^{(3,0)}(3x^{2}+2xy^{3})dx+(3x^{2}y^{2}+2y)dy$.
题目解答
答案
为了证明线积分$\int_{L}(3x^{2}+2xy^{3})dx+(3x^{2}y^{2}+2y)dy$与积分路径无关，我们需要检查向量场$\mathbf{F} = (3x^2 + 2xy^3, 3x^2y^2 + 2y)$是否保守。一个向量场$\mathbf{F} = (P, Q)$是保守的，如果$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$。
这里，$P = 3x^2 + 2xy^3$和$Q = 3x^2y^2 + 2y$。我们计算偏导数：
\[
\frac{\partial P}{\partial y} = 6xy^2 \quad \text{和} \quad \frac{\partial Q}{\partial x} = 6xy^2.
\]
由于$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$，向量场是保守的，因此线积分与积分路径无关。
接下来，我们需要找到一个势函数$f(x, y)$使得$\nabla f = \mathbf{F}$。这意味着$f_x = P$和$f_y = Q$。我们从$f_x = 3x^2 + 2xy^3$开始积分：
\[
f(x, y) = \int (3x^2 + 2xy^3) \, dx = x^3 + x^2y^3 + g(y),
\]
其中$g(y)$是$y$的函数。现在我们对$f$关于$y$求偏导数并将其等于$Q$：
\[
f_y = 3x^2y^2 + g'(y).
\]
由于$f_y = 3x^2y^2 + 2y$，我们有：
\[
3x^2y^2 + g'(y) = 3x^2y^2 + 2y.
\]
这简化为：
\[
g'(y) = 2y.
\]
对$g(y)$关于$y$积分，我们得到：
\[
g(y) = y^2 + C,
\]
其中$C$是常数。因此，势函数是：
\[
f(x, y) = x^3 + x^2y^3 + y^2 + C.
\]
由于常数$C$不影响线积分，我们可以取$C = 0$。势函数是：
\[
f(x, y) = x^3 + x^2y^3 + y^2.
\]
线积分$\int_{(-2, -1)}^{(3, 0)}(3x^{2}+2xy^{3})dx+(3x^{2}y^{2}+2y)dy$是势函数在端点$(3, 0)$和$(-2, -1)$处的值的差：
\[
f(3, 0) - f(-2, -1).
\]
我们计算$f(3, 0)$：
\[
f(3, 0) = 3^3 + 3^2 \cdot 0^3 + 0^2 = 27.
\]
我们计算$f(-2, -1)$：
\[
f(-2, -1) = (-2)^3 + (-2)^2 \cdot (-1)^3 + (-1)^2 = -8 + 4 \cdot (-1) + 1 = -8 - 4 + 1 = -11.
\]
因此，线积分是：
\[
f(3, 0) - f(-2, -1) = 27 - (-11) = 27 + 11 = 38.
\]
答案是：
\[
\boxed{38}.
\]