求旋转抛物面 =(x)^2+(y)^2 和平面 z=2 所围成的空间立体的体积.

考查要点：本题主要考查利用二重积分计算空间立体体积的方法，特别是对旋转抛物面与平面所围区域的体积求解。

解题核心思路：

1. 确定积分区域：找到旋转抛物面 $z = x^2 + y^2$ 与平面 $z = 2$ 的交线，投影到 $xy$ 平面得到区域 $D$。
2. 建立体积积分表达式：体积等于在区域 $D$ 上，平面 $z=2$ 与抛物面 $z=x^2+y^2$ 的高度差的积分。
3. 坐标系选择：利用柱坐标系简化积分计算，因积分区域和被积函数均具有圆对称性。

破题关键点：

• 交线确定：联立 $z=2$ 和 $z=x^2+y^2$，得 $x^2+y^2=2$，即投影区域 $D$ 是半径为 $\sqrt{2}$ 的圆。
• 积分转换：将二重积分转换为柱坐标系下的累次积分，简化计算。

步骤1：确定积分区域
联立抛物面方程 $z = x^2 + y^2$ 和平面方程 $z = 2$，得交线为 $x^2 + y^2 = 2$，对应投影区域 $D$ 是 $xy$ 平面上以原点为圆心、半径为 $\sqrt{2}$ 的圆。

步骤2：建立体积积分表达式
体积 $V$ 等于区域 $D$ 上，平面 $z=2$ 与抛物面 $z=x^2+y^2$ 的高度差的积分：
$V = \iint_D \left( 2 - (x^2 + y^2) \right) \, dA$

步骤3：转换为柱坐标系
在柱坐标系下，$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，$dA = r \, dr \, d\theta$，积分区域变为 $0 \leq r \leq \sqrt{2}$，$0 \leq \theta \leq 2\pi$。代入得：
$V = \int_0^{2\pi} \int_0^{\sqrt{2}} \left( 2 - r^2 \right) r \, dr \, d\theta$

步骤4：计算内层积分
先对 $r$ 积分：
$\int_0^{\sqrt{2}} \left( 2r - r^3 \right) dr = \left[ r^2 - \frac{r^4}{4} \right]_0^{\sqrt{2}} = \left( 2 - \frac{4}{4} \right) - 0 = 1$

步骤5：计算外层积分
再对 $\theta$ 积分：
$\int_0^{2\pi} 1 \, d\theta = 2\pi$

最终结果：
$V = 2\pi$