题目
(本题满分11分)设A为2阶矩阵,P=(a,Aa),其中P=(a,Aa)是非零向量且不是A的特征向量.(1)证明P为可逆矩阵(2)若P=(a,Aa),求P=(a,Aa)并判断A是否相似于对角矩阵.
(本题满分11分)设A为2阶矩阵,
,其中
是非零向量且不是A的特征向量.(1)证明P为可逆矩阵
,其中是非零向量且不是A的特征向量.(1)证明P为可逆矩阵(2)若
,求
并判断A是否相似于对角矩阵.
,求并判断A是否相似于对角矩阵.题目解答
答案
[解析](1)由于不为A的特征向量,可知
不成比例,即线性无关,也即可逆.
不为A的特征向量,可知不成比例,即线性无关,也即可逆.(2)由于
,可知:
,可知:
,则
,令
,可知A相似于B,
,则B有两个不同的特征值2,-3,也即A有两个不同特征值2,-3,故A可相似对角化.解析
步骤 1：证明P为可逆矩阵
由于a不是A的特征向量，可知a和Aa不成比例，即a和Aa线性无关。因此，矩阵P=(a,Aa)的列向量线性无关，所以P为可逆矩阵。
步骤 2：求解矩阵B
由${A}^{2}a+Aa-6a=0$，可以得到${A}^{2}a=6a-Aa$。因此，AP=(Aa,A^2a)=(Aa,6a-Aa)=(a,Aa) $\left (\begin{matrix} 0& 6\\ 1& -1\end{matrix} ) \right.$ =P $\left (\begin{matrix} 0& 6\\ 1& -1\end{matrix} ) \right.$。令B=$\left (\begin{matrix} 0& 6\\ 1& -1\end{matrix} ) \right.$，则有P^(-1)AP=B。
步骤 3：判断A是否相似于对角矩阵
计算矩阵B的特征多项式$|\lambda E-B|=$ $\left |\begin{matrix} \lambda & -6\\ -1& \lambda+1\end{matrix} \right |$ = $\lambda^2+\lambda-6$ = $(\lambda+3)(\lambda-2)$。因此，B有两个不同的特征值2和-3，所以B可对角化。由于A和B相似，所以A也可对角化。
由于a不是A的特征向量，可知a和Aa不成比例，即a和Aa线性无关。因此，矩阵P=(a,Aa)的列向量线性无关，所以P为可逆矩阵。
步骤 2：求解矩阵B
由${A}^{2}a+Aa-6a=0$，可以得到${A}^{2}a=6a-Aa$。因此，AP=(Aa,A^2a)=(Aa,6a-Aa)=(a,Aa) $\left (\begin{matrix} 0& 6\\ 1& -1\end{matrix} ) \right.$ =P $\left (\begin{matrix} 0& 6\\ 1& -1\end{matrix} ) \right.$。令B=$\left (\begin{matrix} 0& 6\\ 1& -1\end{matrix} ) \right.$，则有P^(-1)AP=B。
步骤 3：判断A是否相似于对角矩阵
计算矩阵B的特征多项式$|\lambda E-B|=$ $\left |\begin{matrix} \lambda & -6\\ -1& \lambda+1\end{matrix} \right |$ = $\lambda^2+\lambda-6$ = $(\lambda+3)(\lambda-2)$。因此，B有两个不同的特征值2和-3，所以B可对角化。由于A和B相似，所以A也可对角化。