题目
1.单选题 设区域D=(x,y)mid x^2leq yleq x，则在先x后y的积分次序下，iintlimits_(D)f(x,y)dxdy=____； A. int_(0)^1dxint_(x)^sqrt(x)f(x,y)dy; B. int_(0)^1dyint_(sqrt(y))^yf(x,y)dx; C. int_(0)^1dxint_(sqrt(x))^xf(x,y)dy; D. int_(0)^1dyint_(y)^sqrt(y)f(x,y)dx;
1.单选题 设区域$D=\left\{(x,y)\mid x^{2}\leq y\leq x\right\}$，则在先x后y的积分次序下，$\iint\limits_{D}f(x,y)dxdy=$____；
A. $\int_{0}^{1}dx\int_{x}^{\sqrt{x}}f(x,y)dy$;
B. $\int_{0}^{1}dy\int_{\sqrt{y}}^{y}f(x,y)dx$;
C. $\int_{0}^{1}dx\int_{\sqrt{x}}^{x}f(x,y)dy$;
D. $\int_{0}^{1}dy\int_{y}^{\sqrt{y}}f(x,y)dx$;
A. $\int_{0}^{1}dx\int_{x}^{\sqrt{x}}f(x,y)dy$;
B. $\int_{0}^{1}dy\int_{\sqrt{y}}^{y}f(x,y)dx$;
C. $\int_{0}^{1}dx\int_{\sqrt{x}}^{x}f(x,y)dy$;
D. $\int_{0}^{1}dy\int_{y}^{\sqrt{y}}f(x,y)dx$;
题目解答
答案
区域 $D$ 由 $x^2 \leq y \leq x$ 定义，交点为 $(0,0)$ 和 $(1,1)$。
将 $D$ 表示为 $y$ 的函数：
- $y$ 的范围为 $[0,1]$，
- 对于给定 $y$，$x$ 的范围为 $[y, \sqrt{y}]$（因 $y \leq x$ 且 $x^2 \leq y$）。
因此，先 $x$ 后 $y$ 的积分次序为：
\[
\iint\limits_{D} f(x, y) \, dx \, dy = \int_{0}^{1} dy \int_{y}^{\sqrt{y}} f(x, y) \, dx
\]
对应选项 D。
**答案：** $\boxed{D}$
解析
考查要点：本题主要考查二重积分的积分次序转换，需要根据区域D的不等式描述，确定先x后y的积分限。
解题核心思路：
- 确定区域D的形状：由不等式$x^2 \leq y \leq x$可知，区域D由抛物线$y=x^2$和直线$y=x$围成，交点为$(0,0)$和$(1,1)$。
- 转换积分次序：原积分次序为先y后x，需转换为先x后y。此时需将区域D用y表示，找到x的范围。
破题关键点：
- 交点分析：通过联立方程$y=x^2$和$y=x$，确定积分区域的边界。
- 积分限转换：对于固定的$y$，确定$x$的下限和上限，需满足$y \leq x \leq \sqrt{y}$。
步骤1：确定区域D的边界
联立$y=x^2$和$y=x$，解得交点为$(0,0)$和$(1,1)$，区域D位于这两条曲线之间。
步骤2：转换积分次序
- 原积分次序（先y后x）：$x$从$0$到$1$，$y$从$x^2$到$x$。
- 新积分次序（先x后y）：
- $y$的范围为$[0,1]$。
- 对于固定的$y$，$x$需满足$y \leq x \leq \sqrt{y}$（因$y \geq x^2$等价于$x \leq \sqrt{y}$，且$y \leq x$）。
步骤3：写出积分表达式
根据上述分析，先x后y的积分表达式为：
$\iint\limits_{D} f(x,y) \, dx \, dy = \int_{0}^{1} \int_{y}^{\sqrt{y}} f(x,y) \, dx \, dy$