(z)=(z)^2+dfrac (1)({z)^2+1}，则其解析区域为( )(z)=(z)^2+dfrac (1)({z)^2+1}(z)=(z)^2+dfrac (1)({z)^2+1}(z)=(z)^2+dfrac (1)({z)^2+1}(z)=(z)^2+dfrac (1)({z)^2+1}

考查要点：本题主要考查复变函数的解析区域判断，关键在于确定函数的定义域，特别是分式部分的分母不为零的条件。

解题核心思路：

1. 分解函数结构：函数由多项式$z^2$和分式$\frac{1}{z^2+1}$组成。
2. 确定分式定义域：分式$\frac{1}{z^2+1}$的分母$z^2 + 1 \neq 0$，解此方程即可找到排除点。
3. 综合解析区域：多项式部分在整个复平面解析，分式部分需排除使分母为零的点，最终解析区域为两部分的交集。

破题关键点：

• 分母方程求解：$z^2 + 1 = 0$的解为$z = \pm i$，因此需排除$z = \pm i$。

函数$f(z) = z^2 + \dfrac{1}{z^2 + 1}$的解析区域需满足以下条件：

1. 多项式部分$z^2$：
   多项式函数在整个复平面内解析，无额外限制。

2. 分式部分$\dfrac{1}{z^2 + 1}$：
   分式有意义的条件是分母$z^2 + 1 \neq 0$。
   解方程$z^2 + 1 = 0$：
   $z^2 = -1 \implies z = \pm i$
   因此，当$z \neq \pm i$时，分式部分解析。

3. 综合解析区域：
   函数$f(z)$的解析区域为两部分的公共定义域，即排除$z = \pm i$的复平面。

选项分析：

• B选项$\{ z \mid z \in \mathbb{C}, z \neq \pm i \}$正确，符合上述推导。
• 其他选项中，A、D错误（涉及$\pm 1$），C错误（未排除$\pm i$）。