题目

考虑以下赋值。论域 D=(1,2)指定常数a:1,b:2指定函数f:f (1)=2,f (2)=1指定谓词P:P(1,1)T,P(1,2)T,P(2,1)F,P(2,2)F求以下各式的真值。(1)P(a,f(a))∧P(b,f(b))(2)(x)(y)P(y,x)(3)(x)( y)(P(x,y)→P(f (x),f (y)))

考虑以下赋值。

论域 D={1,2}

指定常数a:1,b:2

指定函数f:f (1)=2,f (2)=1

指定谓词P:P(1,1)T,P(1,2)T,P(2,1)F,P(2,2)F

求以下各式的真值。

(1)P(a,f(a))∧P(b,f(b))

(2)(x)(y)P(y,x)

(3)(x)( y)(P(x,y)→P(f (x),f (y)))

题目解答

答案

解:

(1)P(a,f(a))∧P(b,f(b))  P(1,f(1))∧P(2,f(2))  P(1,2)∧P(2,1)  T∧FF

(2)(x)(y)P(y,x) (x)(P(1,x)∨P(2,x))(P(1,1)∨P(2,1))∧(P(1,2)∨P(2,2))

( T∨F)∧(T∨F) T∧TT

(3)(x)(y)(P(x,y)→P(f (x),f (y)))(x)((P(x,1)→P(f (x),f (1)))∧(P(x,2)→P(f (x),f (2)))) ((P(1,1)→P(f (1),f (1)))∧(P(1,2)→P(f (1),f (2))))∧((P(2,1)→P(f (2),f (1)))∧(P(2,2)→P(f (2),f (2)))) ((T→F)∧(T→F))∧((F→F)∧(F→T))(F∧F)∧(T∧T)F∧TF

解析

本题考查一阶逻辑中谓词公式的赋值与真值计算，需结合给定的论域、常数、函数及谓词真值表进行推理。解题核心在于：

  1. 代入法：将常数、函数代入公式，转化为具体命题；
  2. 全称量词展开：将全称量词表达式转换为合取式；
  3. 蕴含式性质：注意蕴含式“前件假则整体真”的特性。

(1) $P(a,f(a)) \land P(b,f(b))$

  1. 代入常数与函数
    $a=1$，$b=2$，$f(a)=f(1)=2$，$f(b)=f(2)=1$，公式变为：
    $P(1,2) \land P(2,1)$
  2. 查询谓词真值
    $P(1,2)=T$，$P(2,1)=F$，故：
    $T \land F = F$

(2) $(x)(y)P(y,x)$

  1. 展开全称量词
    对所有$x,y \in \{1,2\}$，需验证$P(y,x)$是否全为真。
    展开为：
    $\big(P(1,1) \land P(2,1)\big) \land \big(P(1,2) \land P(2,2)\big)$
  2. 逐个验证
    • $x=1$时：$P(1,1)=T$，$P(2,1)=F$ → 合取式为$F$
    • $x=2$时：$P(1,2)=T$，$P(2,2)=F$ → 合取式为$F$
      最终结果：$F \land F = F$
      （注：原题解答可能存在错误，正确结果应为$F$）

(3) $(x)(y)\big(P(x,y) \to P(f(x),f(y))\big)$

  1. 枚举所有可能的$P(x,y)$为真情况
    • $P(1,1)=T$ → 验证$P(f(1),f(1))=P(2,2)=F$ → $T \to F = F$
    • $P(1,2)=T$ → 验证$P(f(1),f(2))=P(2,1)=F$ → $T \to F = F$
      其余情况$P(x,y)=F$，蕴含式自动为$T$。
  2. 存在使蕴含式为假的情况
    最终结果：$F$