（21）lim _(xarrow 4)dfrac (sqrt {2x+1)-3}(sqrt {x-2)-sqrt (2)}

步骤 1：分子有理化
$\sqrt {2x+1}-3$ 可以通过乘以它的共轭表达式 $\sqrt {2x+1}+3$ 来有理化，从而消除根号。这样我们得到：
$$\sqrt {2x+1}-3=\dfrac {(2x+1)-9}{\sqrt {2x+1}+3}=\dfrac {2(x-4)}{\sqrt {2x+1}+3}$$
步骤 2：分母有理化
$\sqrt {x-2}-\sqrt {2}$ 可以通过乘以它的共轭表达式 $\sqrt {x-2}+\sqrt {2}$ 来有理化，从而消除根号。这样我们得到：
$$\sqrt {x-2}-\sqrt {2}=\dfrac {(x-2)-2}{\sqrt {x-2}+\sqrt {2}}=\dfrac {(x-4)}{\sqrt {x-2}+\sqrt {2}}$$
步骤 3：代入并简化
将步骤 1 和步骤 2 的结果代入原极限表达式中，我们得到：
$$\lim _{x\rightarrow 4}\dfrac {\sqrt {2x+1}-3}{\sqrt {x-2}-\sqrt {2}}=\lim _{x\rightarrow 4}\dfrac {\dfrac {2(x-4)}{\sqrt {2x+1}+3}}{\dfrac {(x-4)}{\sqrt {x-2}+\sqrt {2}}}$$
$$=2\lim _{x\rightarrow 4}\dfrac {\sqrt {x-2}+\sqrt {2}}{\sqrt {2x+1}+3}$$
步骤 4：计算极限
将 $x=4$ 代入上述表达式中，我们得到：
$$=2\lim _{x\rightarrow 4}\dfrac {\sqrt {x-2}+\sqrt {2}}{\sqrt {2x+1}+3}$$
$$=\dfrac {2(\sqrt {4-2}+\sqrt {2})}{\sqrt {2\times 4+1}+3}$$
$$=\dfrac {2(\sqrt {2}+\sqrt {2})}{\sqrt {9}+3}$$
$$=\dfrac {2(2\sqrt {2})}{3+3}$$
$$=\dfrac {4\sqrt {2}}{6}$$
$$=\dfrac {2\sqrt {2}}{3}$$