题目
5.求过点(1，-2，-1)，平行于平面x-y+z+5=0，又与直线(x-1)/(1)=(y+1)/(-1)=(z-1)/(-1)相交的直线方程.
5.求过点(1，-2，-1)，平行于平面x-y+z+5=0，又与直线$\frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-1}{-1}$相交的直线方程.
题目解答
答案
1. **求平行平面方程**：
过点 $(1, -2, -1)$ 且平行于平面 $x - y + z + 5 = 0$ 的平面方程为 $x - y + z - 2 = 0$。
2. **求交点**：
将直线 $\frac{x-1}{1} = \frac{y+1}{-1} = \frac{z-1}{-1} = t$ 代入平面方程，解得 $t = -1$，交点为 $(0, 0, 2)$。
3. **确定直线方程**：
过点 $(1, -2, -1)$ 和 $(0, 0, 2)$ 的直线方向向量为 $(-1, 2, 3)$，化简为 $(1, -2, -3)$。
故直线方程为 $\boxed{\frac{x}{1} = \frac{y}{-2} = \frac{z-2}{-3}}$。
解析
步骤 1：求平行平面方程
过点 $(1, -2, -1)$ 且平行于平面 $x - y + z + 5 = 0$ 的平面方程为 $x - y + z + C = 0$。将点 $(1, -2, -1)$ 代入，解得 $C = -2$，因此平行平面方程为 $x - y + z - 2 = 0$。
步骤 2：求交点
将直线 $\frac{x-1}{1} = \frac{y+1}{-1} = \frac{z-1}{-1} = t$ 代入平面方程 $x - y + z - 2 = 0$，得到 $1 + t - (-1 - t) + 1 - t - 2 = 0$，化简得 $t = -1$。将 $t = -1$ 代入直线方程，得到交点 $(0, 0, 2)$。
步骤 3：确定直线方程
过点 $(1, -2, -1)$ 和 $(0, 0, 2)$ 的直线方向向量为 $(0 - 1, 0 + 2, 2 + 1) = (-1, 2, 3)$，化简为 $(1, -2, -3)$。因此，直线方程为 $\frac{x-1}{1} = \frac{y+2}{-2} = \frac{z+1}{-3}$。
过点 $(1, -2, -1)$ 且平行于平面 $x - y + z + 5 = 0$ 的平面方程为 $x - y + z + C = 0$。将点 $(1, -2, -1)$ 代入，解得 $C = -2$，因此平行平面方程为 $x - y + z - 2 = 0$。
步骤 2：求交点
将直线 $\frac{x-1}{1} = \frac{y+1}{-1} = \frac{z-1}{-1} = t$ 代入平面方程 $x - y + z - 2 = 0$，得到 $1 + t - (-1 - t) + 1 - t - 2 = 0$，化简得 $t = -1$。将 $t = -1$ 代入直线方程，得到交点 $(0, 0, 2)$。
步骤 3：确定直线方程
过点 $(1, -2, -1)$ 和 $(0, 0, 2)$ 的直线方向向量为 $(0 - 1, 0 + 2, 2 + 1) = (-1, 2, 3)$，化简为 $(1, -2, -3)$。因此，直线方程为 $\frac{x-1}{1} = \frac{y+2}{-2} = \frac{z+1}{-3}$。